Typicality, Fluctuations and Quantum Dynamics: Statistical Mechanics of Quantum Systems

Nuove tecnologie hanno reso possibile lo studio spettroscopico di proprietà di singola molecola e di singolo spin, inoltre, gli avanzamenti nel campo delle nanotecnologie, mettono costantemente alla prova la nostra comprensione dei meccanismi che governano la dinamica a livello quantistico. Questi recenti sviluppi stanno rinnovando l’interesse intorno a questioni fondamentali non pienamente comprese e risolte; una di queste questioni riguarda i fondamenti della meccanica statistica quantistica. Lo scopo della presente tesi è quello di dare un contributo in questo affascinante campo, alla luce degli importanti cambiamenti avvenuti negli ultimi vent’ anni nella nostra comprensione della meccanica quantistica. In particolare gli studi condotti nell’ambito della teoria dell’informazione hanno profondamente modificato la nostra percezione dell’ entanglement quantistico. Questo è stato per lungo tempo considerato una proprietà quasi paradossale della materia su scala atomica mentre oggi è ritenuto un fenomeno essenziale e onnipresente importante per comprendere l’emergere del mondo macroscopico così come lo conosciamo. Inoltre, la formulazione e lo sviluppo del cosiddetto “decoherence program” ha introdotto un nuovo paradigma nella descrizione dell’evoluzione temporale dei sistemi quantistici riconoscendo il ruolo fondamentale dell’interazione con l’ambiente nel determinare aspetti essenziali della dinamica. Assumendo una prospettiva in linea con questi progressi, in questa tesi si parte dall’idea che la correlazione quantistica, l’entanglement, non possa essere ignorata nel derivare una descrizione statistica coerente dei sistemi complessi tradizionalmente considerati in meccanica statistica. La logica conseguenza di questo punto di vista è che la meccanica statistica quantistica non possa essere basata sull’idea dell’esistenza di insiemi di sistemi quantistici fra loro indipendenti, ma al contrario debba emergere dalla descrizione in termini di una singola funzione d’onda (stato puro) che descrive il sistema nella sua globalità, i.e. il sottosistema di interesse insieme con il suo ambiente (“environment”). Allo scopo di costruire tale descrizione, in questa tesi si considera in primo luogo la distribuzione di probabilità che descrive lo stato di equilibrio di un sistema quantistico isolato. Essa è definita, in analogia con la teoria ergodica classica, sulla base dell’evoluzione temporale del sistema. Per studiare l’emergere delle proprietà termodinamiche si introducono poi distribuzioni di probabilità su insiemi di stati puri (“Ensemble Distributions”). Tali distribuzioni sono derivate sulla base della geometria dello spazio di Hilbert che descrive il sistema nella sua interezza. Inoltre si sono sviluppati gli strumenti teorici che permettono la caratterizzazione di tali distribuzioni di probabilità: essi consistono da un lato nell’implementazione di metodi numerici di tipo Monte Carlo che permettono il campionamento statistico diretto delle distribuzioni, d’altro canto sono state sviluppate approssimazioni analitiche delle distribuzioni sulla base del principio di massima entropia. I risultati fondamentali che emergono dal quadro teorico sviluppato sono illustrati mediante lo studio della statistica in sistemi di spin: il messaggio fondamentale è che le funzioni termodinamiche, come l’entropia del sistema globale e lo stato di equilibrio di un sottosistema, sono caratterizzate da distribuzioni sull’ ensemble che risultano molto concentrate intorno ad un valore tipico. Dall’analisi condotta si deduce quindi che ognuno dei singoli stati puri considerati nell’insieme è caratterizzato dallo stesso valore delle funzioni termodinamiche studiate. Questa è una chiara evidenza della proprietà di tipicalità, (“typicality”), di queste funzioni. L’essenza di questo risultato è che la nostra incapacità di conoscere i dettagli dello stato quantistico del sistema non è così importante dal momento che la grande maggioranza dei possibili stati che appartengono all’insieme considerato sono caratterizzati dallo stesso valore delle proprietà termodinamiche alle quali siamo interessati. In virtù di tale proprietà risulta sensato studiare gli andamenti dei valori tipici delle proprietà termodinamiche. Sotto certe condizioni si ritrovano i risultati della meccanica statistica standard: in particolare lo stato di equilibrio di un sottosistema risulta essere in media lo stato canonico di Boltzmann alla temperatura definita dall’usuale relazione termodinamica . Nella seconda parte della tesi, invece, si illustra la dinamica associata allo stato di equilibrio di un sistema in interazione con il suo ambiente. Le caratteristiche delle fluttuazioni intorno ai valori medi di equilibrio dipendono sia dall’entanglement tra il sistema e l’ambiente che dal tipo di interazione considerato. Per finire si considera la connessione fra la dinamica delle fluttuazioni all’equilibrio e i processi di rilassamento da uno stato iniziale di non equilibrio. Il lavoro presentato in questa tesi è stato in parte motivato da un analisi critica dei metodi stocastici utilizzati nella modellizzazione teorica delle spettroscopie magnetiche. Durante il primo anno di dottorato tali metodologie sono state impiegate per l’interpretazione di alcune osservabili in esperimenti di risonanza magnetica elettronica bidimensionale. [Fresch B., Frezzato D., Moro G. J., Kothe G., Freed J. H.; J. Phys. Chem. B., 110, 24238, (2006)].