On a generalization of affinoid varieties

In questa tesi vengono sviluppate le basi per una teoria degli spazi analitici su campi valutati che comprende in modo uniforme il caso in cui il campo base sia archimedeo o non-archimedeo. Per raggiungere questo obiettivo useremo il linguaggio efficiente delle algebre bornologiche. Siccome non sembra essere disponibile una amplia letteratura riguardo le algebre bornologiche, le prima parte della tesi si occupa di stabilire alcuni risultati fondamentali a riguardo. Con questi risultati a disposizione, è possibile costruire una teoria degli spazi analitici prendendo come mattoni fondamentali le algebre dagger affinoidi, cioè algebre bornologiche isomorfe a quozienti delle algebre dei germi di funzioni analitiche su policilindri. Si ottiene quindi che la categoria delle algebra affinoidi dagger così definite soddisfa l'analogo di tutte le proprietà più importanti della categoria delle algebre affinoidi e che quindi otteniamo una buona teoria degli spazi affinoidi dagger che è del tutto analoga alla categoria degli spazi affinoidi usati in geometria rigida. C'è da sottolineare che il caso in cui il campo base è archimedeo ha proprietà particolari, studiate all'inizio del quinto capitolo, e che queste proprietà permettono di ottenere anche per spazi affinodi dagger archimedei il principale risultato strutturale della teoria delle algebre affinoidi: il teorema di Gerritzen-Grauert (la dimostrazione qui data di questo teorema è ispirata dalla nuova dimostrazione data da Temkin valida in geometria di Berkovich). Dopo aver ottenuto una buona teoria affine la tesi si conclude con la costruzione della teoria globale degli spazi analitici dagger. Verrà utilizzato un approccio analogo a quello usato da Berkovich per fare questo. Dopo aver definito questa nuova categoria di spazi verranno studiate le relazioni tra questi e gli spazi analitici presenti in letteratura. In particolare si vedrà che questi spazi sono fortemente legati agli spazi dagger di Grosse-Klonne e che nel caso archimedeo la categoria degli spazi analitici complessi classica si immerge in modo pienamente fedele nella categoria degli spazi analitici dagger complessi. In conclusione, in questo lavoro si ottiene una teoria affinoide completa per spazi dagger su ogni campo valutato sulla base della quale viene proposta una teoria degli spazi dagger globali la quale dovrà essere approfondita in futuro.