Periodic and hypercomplex potentials. Properties and applications

Questa Tesi si occupa dello studio di problemi al contorno e analizza due linee di ricerca. La prima riguarda lo studio di perturbazioni di problemi al contorno in domini perforati e la sua applicazione all'analisi delle proprieta efficaci dei materiali compositi. Studiamo la dipendenza delle soluzioni di problemi di trasmissione da alcuni parametri e il loro comportamento quando il parametro corrispondente alla dimensione delle inclusioni tende a zero e gli altri parametri tendono ad alcuni valori fissati. In seguito, applichiamo i nostri risultati allo studio della conduttivita efficace di composti periodici. Analizziamo anche il comportamento della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson nell'insieme di R3 che consiste in una serie periodica di cilindri in caso di perturbazione della forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. Inoltre, applichiamo i nostri risultati per studiare il comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri rispetto a tale perturbazione. La seconda parte della Tesi riguarda lo sviluppo di strumenti per risolvere problemi al contorno per funzioni che assumono valore in algebre di Banach commutative. In particolare, studiamo le proprieta dei residui logaritmici delle funzioni monogeniche (continue e differenziabili nel senso di Gateaux) e il comportamento di certi integrali di tipo Cauchy sulla frontiera dell'insieme di definizione. La Tesi si suddivide in due parti ed è organizzata come segue. La parte I è composta da tre capitoli. Nel capitolo 1 studiamo il comportamento asintotico delle soluzioni di problemi di trasmissione (ideale e nonideale) singolarmente perturbati in un dominio periodicamente perforato. Nel capitolo 2 applichiamo i risultati del capitolo 1 per studiare il comportamento asintotico della conduttivita termica efficace di un composto periodico a due fasi diluito. Il capitolo 3 è dedicato allo studio del comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri quando perturbiamo la forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. La parte II è composta da due capitoli. Nel capitolo 4 introduciamo un'algebra commutativa tridimensionale su C con un radicale unidimensionale e studiamo i residui logaritmici delle funzioni monogeniche in questa algebra. Il capitolo 5 è dedicato allo studio di un analogo dell'integrale di Cauchy che assume valore nell'algebra menzionata e dei suoi valori limite sulla frontiera del dominio di definizione. Alla fine della Tesi, abbiamo inserito tre appendici con alcuni risultati che abbiamo utilizzato nella Tesi.