Mathematical modelling and statistics of biodiversity

La vita sulla Terra è caratterizzata da una straordinaria varietà di forme viventi in continua evoluzione per meglio adattarsi all’ambiente circostante e strettamente connesse le une alle altre. Oggigiorno, grazie all’enorme quantità di dati a disposizione, è possibile investigare a fondo su diversi sistemi viventi. La presente tesi è il risultato di un percorso attraverso i complessi pattern della teoria ecologica. In essa trattiamo sia modelli teorici sia problematiche legate all’analisi dei dati, come anche le connessioni tra loro, tutto all’interno di un contesto matematico. Centro d’interesse sono i diversi aspetti della biodiversità di un ecosistema, termine con il quale indichiamo la varietà delle sue specie. In particolare, vogliamo investigare il modo in cui le diverse specie interagiscono le une con le altre e come, da queste connessioni, possano originarsi dei pattern macro-ecologici ricorrenti. Infatti, nonostante la loro apparente diversità e complessità, è oggi evidente che i sistemi ecologici mostrano comportamenti simili. Questo fatto suggerisce che tali sistemi evolvono secondo un meccanismo comune, insensibile ai dettagli del sistema su cui agisce. Di conseguenza, si apre la strada allo sviluppo di modelli teorici che siano abbastanza complessi da riuscire a spiegare tali fenomeni, ma che al contempo non contengano più dettagli di quelli necessari a riprodurli. La prima parte della tesi è dedicata all’esplorazione dei fondamenti della teoria dei processi di punto, uno strumento matematico molto utile quando si va ad investigare dataset contenenti posizioni di punti nello spazio. In particolare, essendo i nostri database relativi a coordinate di alberi appartenenti a specie diverse, ci concentreremo sul cosiddetto processo sovrapposto e sulle sue statistiche di primo e secondo ordine. Poi studieremo un algoritmo che permette di ottenere informazioni sull’intensità di un processo di punto, capace al contempo di ridurre le fluttuazioni di campionamento e di rivelare caratteristiche importanti di un pattern spaziale, come l’anisotropia ed il clustering. Infine, esploreremo in dettaglio le nozioni di diversità e similarità e i vari indici proposti in letteratura per misurarle. In particolare, studieremo come inserire queste nozioni nel contesto dei processi di punto. L’obiettivo è quello di trovare una relazione analitica per il decadimento di similarità tra due regioni in funzione della distanza tra esse estendendo la nozione classica dell’indice di Sørensen in modo da incorporare informazioni spaziali. Nella seconda parte della tesi, affronteremo il problema di inferire la biodiversità totale di un ecosistema avendo a disposizione solo alcuni suoi campioni. In particolare, proporremo un nuovo metodo che, sfruttando la proprietà di invarianza di scala della distribuzione binomiale negativa, permette di avere stime accurate e robuste. Testandolo sia su foreste artificiali che reali, mostreremo che il metodo è più affidabile rispetto ad altri proposti in letteratura.