Direct sum decompositions and weak Krull-Schmidt Theorems

In questa tesi discutiamo il comportamento della decomposizione in somma diretta in categorie additive e in particolare in categorie di moduli. Nella prima parte della tesi, investighiamo le proprietà degli anelli che giocano un ruolo prominente nella teoria della fattorizzazione nelle categorie additive, come per esempio la proprietà di scambio, la semilocalità e la dimensione di Goldie. Vogliamo sottolineare l'importanza di quest'ultima e investighiamo con attenzione il caso infinito della dimensione duale di Goldie di un anello. Nel resto della tesi, utilizziamo un approccio più categoriale, studiando il comportamento della decomposizione in somma diretta nelle categorie additive. Data una categoria additiva C, il suo scheletro V(C) ha la struttura di un monoide commutativo rispetto all'operazione di somma diretta, e tutte le informazioni riguardo la regolarità della decomposizione in somma diretta nella categoria C sono rintracciabili attraverso il monoide V(C). Studiamo classi di categorie in cui la decomposizione in somma diretta assume un comportamento abbastanza regolare; principalemente ci restringiamo a categorie C il cui monoide V(C) è un monoide di Krull, evidenziando il ruolo prominente occupato da parte degli anelli degli endomorfismi semilocali. Analizziamo il comportamento peculiare della decomposizione in somma diretta in alcune categorie di moduli, dove l'unicità della decomposizione è garantita a meno di due permutazioni, e notiamo come questo fenomeno sia dovuto alla presenza di anelli degli endomorfismi di tipo due. Nell'ultimo capitolo investighiamo cosa succede quando passiamo da somme dirette finite di oggetti indecomponibili a somme dirette infinite, e sviluppiamo l'ambiente in cui i fenomeni studiati precedentemente nel caso finito si manifestano, sia ad un livello di teoria dei monodi sia ad un livello categoriale.