Generalised Unitarity, Integrand Decomposition, and Hidden properties of QCD Scattering Amplitudes in Dimensional Regularisation

In questa tesi discutiamo le proprietà di analiticità delle ampiezze di scattering e presentiamo nuovi metodi per il loro calcolo analitico, sia a tree-level e agli ordini perturbativi successivi. Proponiamo un nuovo schema di regolarizzazione dimensionale, la Four-dimensional formulation (FDF), che mostriamo equivalente al Four-dimensional helicity scheme (FDH). Nella nostra formulazione, consideriamo le particelle che si propagano all'interno dei loop in quattro dimensioni, fornendo una rappresentazione esplicitamente quadridimensionale dei loro stati di polarizzazione ed elicità. La massa di tali particelle virtuali agisce da regolatore delle divergenze. Lavorando in FDF, utilizziamo le tecniche di unitarietà e il metodo dell'integrand reduction per calcolare analiticamente ampiezze di scattering a un loop, mostrando che la conoscenza delle ampiezze a tree-level consente, in questo formalismo, di ottenere sia la cosiddetta parte cut-constructibile dell'ampiezza di loop sia i suoi termini razionali. Presentiamo una serie di esempi non banali e illustriamo come FDF consenta di calcolare ampiezze partoniche per processi $2\to 2,3,4$ di notevole rilevanza fenomenologica. In particolare, iniziamo considerando la produzione di due gluoni a partire da una coppia di quark-antiquark per poi analizzare ampiezze puramente gluoniche del tipo $gg\to ng$, con $n=2,3,4$. Infine, lavorando nel limite di massa infinita del quark top, presentiamo i risultati per la produzione via gluon-fusion di un bosone di Higgs in associazione con jet gluonici, $gg\to ngH$, $n=1,2,3$. Seguendo un approccio diagrammatico, investighiamo il ruolo della colour-kinematics duality (C/K) in teorie di gauge accoppiate alla materia, sia in quattro che in $d$ dimensioni, adottando, nel secondo caso, le prescrizioni di FDF. Mostriamo che le identità di Jacobi tra i numeratori cinematici dei diagrammi di Feynman off-shell (per i quali utilizziamo il gauge assiale) producono violazioni della C/K dualità riconducibili all'esclusivo contributo di sottodiagrammi. Discutiamo il ruolo di tale decomposizione off-shell nella costruzione diretta di numeratori esplicitamente duali. In particolare, analizziamo il processo $gg\to q\bar{q}g$ in quattro dimensioni per poi estendere tale studio, mediante l'utilizzo di FDF, al caso $d$-dimensionale. Nel seguito, studiamo il comportamento delle ampiezze a tree-level di QCD nel limite di emissione di radiazione soffice. Nel caso dell'emissione di un singolo gluone, mostriamo che il termine sottodominante nell'approssimazione soffice dell'ampiezza è descritto da operatori differenziali la cui espressione universale può essere derivata sia delle relazioni di ricorrenza di Britto-Cachazo-Feng-Witten sia dalle proprietà di invarianza di gauge dell'ampiezza. Tali proprietà si rivelano valide, oltre che per processi gluonici, per lo scattering tra gravitoni. Nell'ultima parte di questa tesi, discutiamo le caratteristiche principali del calcolo di ampiezze di scattering oltre un loop. Descriviamo brevemente il metodo dell'adaptive integrand decomposition (AID), una formulazione alternativa della tecnica di integrand decomposition tradizionale, che sfrutta la scomposizione dello spazio-tempo nei sottospazi parallelo ed ortogonale alla cinematica esterna. In particolare, ci concentriamo su calcolo di ampiezze partoniche $2\to2,3$ a due loop.