Separate analyticity and holomorphic sectors

Nel primo capitolo di questa tesi studieremo il fenomeno della separata analiticità: nel caso complesso è ben noto (Hartogs, 1906) che una funzione di $n$ variabili complesse è olomorfa se e solo se è separatamente olomorfa in ogni variabile. Dopo aver osservato che è sufficiente supporre $n=2$ (possiamo in seguito iterare le conclusioni, aggiungendo una alla volta le variabili), dimostriamo il passaggio fondamentale del teorema di Hartogs: se $f$ è una funzione definita in $\Delta \times \Delta \subset \mathbb{C}^2$, olomorfa per $|z_2|<\epsilon$ e separatamente olomorfa in $z_2$ quando $z_1$ è fissato, allora $f$ è olomorfa nel complesso delle due variabili. La convergenza normale della serie di Taylor di $f$ è data dal lemma di Hartogs per funzioni subarmoniche. Tale risultato è stato generalizzato in più direzioni; nel lavoro presente si considera il caso in cui $f$ è separatamente olomorfa lungo le rette complesse, uscenti da una curva reale $\gamma$, che fogliano un'ipersuperficie reale $M\subset\mathbb{C}^2$ e olomorfa in un intorno di $\gamma$. Allora $f$ è olomorfa in un intorno di $M$. Questa generalizzazione del lemma di Hartogs offre una nuova interpretazione geometrica di un teorema di Siciak sulla separata analiticità reale: se una funzione in $\mathbb{R}^2$ è separatamente analitica reale in una variabile, e si estende ad una funzione olomorfa in una striscia uniforme nella seconda, allora è analitica reale nel complesso delle due variabili (Baracco-Zampieri). Nella seconda parte trattiamo l'estensione di funzioni olomorfe definite in un intorno di un wedge $V$ con edge non generico in una varietà generica $M$. Viene definito l'angolo complesso $\alpha\pi$ di $V$ in un punto $p\in\partial V$ come il massimo angolo di intersezione del cono tangente a $V$ in quel punto con una retta complessa. Nel caso in cui $V$ sia senza bordo ($\alpha=2$), o se l'edge di $V$ e generico ($\alpha=1$), le teorie classiche di Boggess-Polking e Tumanov assicurano l'estensione delle funzioni olomorfe in un intorno di $V$ ad un wedge $V'$ su $V$. Zaitsev e Zampieri hanno generalizzato il problema al caso $\frac12<\alpha<1$: le funzioni olomorfe nell'intorno del wedge, in questa situazione, si estendono ad un cosiddetto $\alpha$-wedge su $V$ (tale insieme può essere visto come un wedge la cui componente normale ha un andamento $\frac{1}{\a}$). Per ottenere questo risultato viene introdotta una nuova teoria di dischi analitici con una singolarità $\alpha$-Lipschitz in un punto di bordo: proprietà fondamentale di tali dischi $\alpha$-lipschitziani è che la loro componente normale viene resa regolare dalla composizione con la funzione $h$ di cui $M$ è il grafo. Grazie a questo fatto è possibile controllare la direzione di tali $\alpha$-dischi nel momento in cui vengono attaccati alla varietà. Nel nostro lavoro viene presentata la naturale generalizzazione della teoria al caso $\alpha \leq \frac{1}{2}$: per rendere regolare la composizione della componente normale dei dischi con $h$, chiederemo che $h=O^k$ (cioè $M$ piatta e rigida all'ordine $k$) per $k>\frac{1}{\alpha}$.