Monotone 2-Groups

I problemi di generazione sono problemi estremamente interessanti nella teoria dei gruppi finiti. Tali problemi spesso si riducono a problemi sui generatori di p-gruppi. Questo ha portato ad un sempre maggiore interesse per i problemi di generazione nei p-gruppi e allo studio di classi di p-gruppi finiti in cui i generatori del gruppo e dei sottogruppi soddisfano alcune precise condizioni. Di particolare interesse é la classe dei p-gruppi finiti G tali che il numero di generatori di ogni sottogruppo H di G è minore o uguale del numero di generatori di G. Esempi di p-gruppi appartenenti a questa classe sono i p-gruppi abeliani, i p-gruppi modulari e i p-gruppi powerful. Soddisfano tale proprietà anche i p-gruppi monotoni. Per questi ultimi ricordiamo la definizione. Definizione. Dato G un gruppo, sia d(G) il numero di generatori di G. Un p-gruppo G si dice monotono se per ogni H e K sottogruppi di G con H contenuto in K, si ha che d(H) è minore o uguale a d(K). I p-gruppi monotoni sono stati introdotti da A. Mann durante una conferenza tenutasi a Saint Andrews nel 1985. Lo stesso autore, in "The number of generators of finite p-groups", lavoro pubblicato nel 2005, studia i p-gruppi monotoni e li classifica per p dispari. Del caso p=2, non viene data alcuna classificazione ma vengono date alcune proprietà interessanti. Ad esempio, Mann dimostra che un 2-gruppo G è monotono se e solo se i sottogruppi 2-generati di G sono metaciclici. In questa tesi vengono studiati e classificati completamente i 2-gruppi monotoni.