Shape sensitivity analysis of the eigenvalues of polyharmonic operators and elliptic systems

In questa tesi, studiamo la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali ellittici da perturbazioni del dominio nello spazio N-dimensionale. In particolare, proviamo risultati di analiticità degli autovalori di operatori poliarmonici e sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, e li applichiamo a problemi di ottimizzazione di forma; d'altro canto, otteniamo anche stime di stabilità spettrale per sistemi ellittici generali di equazioni alle derivate parziali di ordine superiore. Per dimostrare l'analiticità usiamo una tecnica generale sviluppata da Lamberti e Lanza de Cristoforis, e otteniamo delle formule alla Hadamard che ci permettono di fornire una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume. Per quanto riguarda le stime di stabilità degli autovalori, dimostriamo risultati di lipschitzianità rispetto alla distanza d'atlante, alla distanza di Hausdorff e alla misura di Lebesgue, adattando gli argomenti utilizzati da Burenkov e Lamberti per operatori ellittici al caso di sistemi ellittici generali di equazioni alle derivate parziali. La tesi e organizzata come segue. Il Capitolo 1 e dedicato ad alcuni preliminari. Nel Capitolo 2 consideriamo l'operatore biarmonico con diverse condizioni al contorno, ovvero di Dirichlet, di Neumann, intermedie e di Steklov. Per tutti questi casi mostriamo la dipendenza analitica degli autovalori dal dominio e calcoliamo formule alla Hadamard, che vengono usate per formire una caratterizzazione dei domini critici per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori sotto il vincolo di volume; a seguire proviamo che le palle sono domini critici per tali funzioni degli autovalori di tutti questi problemi sotto il vincolo di volume. Riguardo al problema di Steklov, mostriamo anche che la palla e un massimizzatore del tono fondamentale tra tutti gli aperti limitati di misura fissata. Nel Capitolo 3 consideriamo il problema agli autovalori con condizioni di Dirichlet per gli operatori poliarmonici. Come nel Capitolo 2, dimostriamo l'analiticità delle funzioni elementari simmetriche degli autovalori fornendo formule alla Hadamard, e diamo una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume; a seguire mostriamo che per tutti gli operatori poliarmonici la palla e un dominio critico. Il Capitolo 4 e dedicato alle stime di stabilità degli autovalori dei sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Adattando gli argomenti usati da Burenkov e Lamberti per operatori ellittici siamo in grado di provare stime con la distanza d'atlante, con la deviazione inferiore di Hausdorff-Pompeiu e con la misura di Lebesgue. Nel Capitolo 5 dimostriamo analiticità, formule alla Hadamard e condizioni di criticità per sistemi ellittici del secondo ordine con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Mostriamo anche che, se il sistema e invariante per rotazioni, allora le palle sono domini critici sotto il vincolo di volume. Infine, nel Capitolo 6 consideriamo il problema di Reissner-Mindlin per la vibrazione di una piastra incastrata. Prima dimostriamo stime simili a quelle del Capitolo 4, che non dipendono dallo spessore della piastra; poi dimostriamo l'analiticità e formule alla Hadamard per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori, che vengono usate per fornire una caratterizzazione di criticità; a seguire, dopo aver provato che il sistema di Reissner-Mindlin e invariante per rotazioni, mostriamo che le palle sono domini critici sotto il vincolo di volume.