Nonlinear PDEs in ergodic control, Mean Field Games and prescribed curvature problems

Questa tesi ha come oggetto di studio EDP ellittiche nonlineari e sistemi di EDP che si presentano in problemi di controllo stocastico, giochi differenziali, in particolare Mean Field Games e geometria differenziale. I risultati contenuti si possono suddividere in tre parti. Nella prima parte si pone l'attenzione su problemi di controllo ergodico stocastico dove lo spazio degli stati e dei controlli coincide con l'intero Rd. L'interesse è posto sul formulare condizioni sul drift, il funzionale di costo e la Lagrangiana sufficienti a sintetizzare un controllo ottimo di tipo feedback. Al fine di ottenere tali condizioni, viene proposto un approccio che combina il metodo delle funzioni di Lyapunov e l'approssimazione del problema su domini limitati con riflessione delle traiettorie al bordo. Le tecniche vengono formulate in termini generali e successivamente sono presi in considerazione esempi specifici, che mostrano come opportune funzioni di Lyapunov possono essere costruite a partire dalle soluzioni dei problemi approssimanti. La seconda parte è incentrata sullo studio di Mean Fielda Games, una recente teoria che mira a elaborare modelli per analizzare processi di decisione in cui è coinvolto un grande numero di agenti indistinguibili. Sono ottenuti nella tesi alcuni risultati di esistenza di soluzioni per sistemi MFG a più popolazioni con condizioni al bordo omogenee di tipo Neumann, attraverso stime a-priori ellittiche e argomenti di punto fisso. Viene in seguito proposto un modello di segregazione tra popolazioni umane che prende ispirazione da alcune idee di T. Schelling. Tale modello si inserisce nel contesto teorico sviluppato nella tesi, e viene analizzato dal punto di vista qualitativo tramite tecniche numeriche alle differenze finite. Il fenomeno di segregazione tra popolazioni si riscontra negli esperimenti numerici svolti sul particolare modello mean field, assumendo l'ipotesi di moderata mentalità etnocentrica delle persone, similmente all’originale modello di Schelling. L'ultima parte della tesi riguarda alcuni risultati di esistenza e unicità di soluzioni per l’equazione di k-esima curvatura principale prescritta. Il problema di Dirichlet per tale famiglia di equazioni ellittiche degeneri nonlineari è risolto implementando la teoria delle soluzioni di Viscosità, applicando in particolare una versione del metodo di Perron basata su soluzioni semiconvesse; la restrizione a tale classe di funzioni risulta sufficiente per dimostrare una stima di tipo Lipschitz sull'operatore ellittico, essenziale per ottenere un principio di confronto. Esistenza e unicità di soluzioni sono formulate in termini generali; vengono forniti infine esempi in cui condizioni particolari sui dati soddisfano tali ipotesi.