Topics on Geometric Integration

In molti campi di ricerca, l’importanza di simulare al calcolatore il comportamento di sistemi dinamici diventa cruciale nello sviluppo e nel test di nuovi prodotti o soluzioni tecniche. A questo proposito si rende necessario avere un modello matematico del sistema di interesse e risolvere le equazioni della dinamica utilizzando un computer. La scelta dei metodi che consentono di calcolare la soluzione numerica di equazioni differenziali, detti integratori numerici, diventa quindi determinante, influenzando l’affidabilità dei risultati delle simulazioni. Una gran parte dei sistemi dinamici possiede proprietà che vengono preservate dal flusso, come ad esempio la conservazione dell’energia, la simmetria, le mappe dei momenti, la simpletticità, lo spazio delle configurazioni. Un metodo numerico generico genera un’approssimazione del flusso a tempo continuo usando solo l’informazione contenuta nelle equazioni della dinamica, tralasciando le leggi fisiche e le proprietà della traiettoria originale. In questo modo, l’accumularsi degli errori rende inaffidabile la soluzione numerica discreta generata da una simulazione di lungo periodo. Al contrario gli integratori geometrici sono pensati in modo da preservare la struttura della dinamica a tempo continuo, mantenendo così le proprietà del flusso esatto anche per simulazioni molto lunghe. Questa tesi affronta due differenti problemi, entrambi annessi al campo dell’integrazione geometrica. Nella prima parte viene descritto un test numerico che consente di verificare facilmente il comportamento energetico a lungo termine degli integratori del corpo rigido. Nella seconda parte viene presentato un approccio che consente di utilizzare metodi numerici per gruppi di Lie per l’integrazione di sistemi dinamici il cui spazio delle configurazioni è un prodotto di sfere unitarie. Stabilità a lungo termine per gli integratori del corpo rigido Il flusso a tempo continuo di un sistema hamiltoniano (quale, ad esempio, un corpo rigido immerso in un campo potenziale statico) è simplettico, ovvero preserva la forma simplettica. Se anche il metodo numerico impiegato per l’integrazione della dinamica è simplettico o coniugato-simplettico, si può dimostrare che (dimostrato che valgono alcune condizioni tecniche) l’algoritmo dimostra una performance eccellente per simulazioni a lungo termine; più precisamente, l’errore sull’energia totale rimane limitato per tempi esponenzialmente lunghi. Inoltre, una buona parte della letteratura vede nella simpletticità una proprietà chiave per la conservazione della struttura e delle caratteristiche del flusso a tempo continuo. Negli ultimi 30 anni, un gran numero di metodi numerici per l’integrazione della dinamica rotazionale del corpo rigido è stato proposto in letteratura. Di essi, una parte è simplettica per costruzione, e ciò ne garantisce un ottimo comportamento per simulazioni a lungo termine. Altri algoritmi sono invece stati costruiti usando metodologie ad hoc, con lo scopo di ottenere un metodo computazionalmente veloce e accurato. Per questi ultimi, l’analisi della soluzione per tempi lunghi è stata condotta mediante esperimenti numerici, monitorando il comportamento dell’energia e degli integrali del moto; in questo caso, tuttavia, non si ha nessuna garanzia sul buon comportamento del metodo per simulazioni a lungo termine in un caso generale. In questo contesto, abbiamo costruito un test numerico che ha dimostrato di evidenziare drift energetici in algoritmi che, in esperimenti precedenti, avevano mostrato un buon comportamento per simulazioni di lungo periodo. Il test consiste nell’integrare la dinamica di un corpo rigido immerso in un potenziale statico somma di due termini attrattivi, uno limitato e uno illimitato. La presenza di un drift nell’energia assicura che l’errore non rimanga limitato per tempi esponenzialmente lunghi, e ciò ci consente di concludere che gli algoritmi da noi testati non sono simplettici nè coniugato-simplettici. È degno di nota il fatto che il nostro test ha permesso di escludere la natura simplettica (e anche coniugato-simplettica) dei ben noti algoritmi di Lie-Newmark, apparsi in letteratura più di 20 anni fa. - Integrazione con metodi di Lie della dinamica di sistemi su sfere unitarie La sfera unitaria S^2 è definita come l’insieme di tutti i punti in R^3 che hanno distanza unitaria dall’origine. Molti sistemi dinamici classici evolvono sulla sfera unitaria o sul prodotto di sfere unitarie. In questi casi, la configurazione è solitamente descritta usando 2 angoli o un vincolo che impone lunghezza unitaria (più in generale, 2n angoli e n vincoli); rappresentazioni di questo tipo aggiungono però complessità ai calcoli, ed andrebbero pertanto evitate. L’approccio geometrico, che garantisce senza l’imposizione di vincoli che ogni punto della traiettoria discreta appartenga alla sfera unitaria, sfrutta il fatto che il gruppo speciale ortogonale di Lie delle matrici di rotazione SO(3) agisce transitivamente sulla sfera unitaria. Ciò suggerisce di spostare il problema nello spazio dell’azione, cercando in SO(3) la traiettoria che genera la soluzione del sistema in S^2. Il nostro contributo in questo ambito consiste in un metodo semplice e diretto per adattare metodi di Lie alla risoluzione della dinamica di sistemi il cui spazio delle configurazioni è un prodotto di sfere unitarie. Tale approccio si basa sulle equazioni del moto di Eulero-Lagrange scritte sulla sfera di raggio unitario, ed è stato ampiamente testato in molti esempi numerici di interesse pratico e scientifico, mostrandosi accurato e computazionalmente efficiente. Il principale vantaggio offerto da questa soluzione è rappresentato dal poter sfruttare senza sforzi addizionali metodi numerici già studiati in letteratura per l’integrazione su gruppi di Lie, arrivando così ad ottenere facilmente un ordine di accuratezza anche molto alto.