Some properties of zeta functions associated to profinite groups

Si consideri un gruppo profinito che abbia solo un numero finito di sottogruppi aperti di indice n, per ogni n: è possibile definire due serie formali di Dirichlet associate al gruppo, la funzione zeta dei sottogruppi normali e la funzione zeta probabilistica normale. In primo luogo, tratteremo il problema della convergenza assoluta della seconda serie, per poi esaminare i gruppi profiniti in cui queste due serie coincidono: chiameremo tali gruppi normalmente zeta-reversibili. La nostra congettura è che i gruppi con questa proprietà siano pronilpotenti, e dimostreremo tale congettura nel caso in cui G sia un gruppo profinito che soddisfa una delle seguenti proprietà: G è prosolubile, G è perfetto oppure tutti i fattori di composizione non abeliani di G sono gruppi alterni. Questi risultati ci forniscono una motivazione sufficiente per concentrarci sui pro-p gruppi finitamente generati, poiché classificare i pro-p gruppi normalmente zeta-reversibili è la chiave per ottenere una classificazione dei gruppi pronilpotenti che soddisfano tale proprietà: mostreremo che i pro-p gruppi uniformi normalmente zeta-reversibili (per p primo dispari) sono abeliani e liberi da torsione. Successivamente, useremo una classificazione esplicita dei pro-p gruppi p-adici analitici di dimensione piccola ed una formula per il computo della loro funzione zeta dei sottogruppi per provare che tali gruppi soddisfano una congettura di Damian e Lucchini. Presenteremo infine alcuni risultati computazionali, ottenuti grazie all'uso del software GAP, sul comportamento (e in particolare sulla distribuzione degli zeri reali) della funzione zeta probabilistica dei gruppi finiti.