Pricing of gas swing contracts with indexed strike: a viscosity solution approach with applications

I contratti swing nei mercati dell'energia e del gas sono prodotti strutturati creati su misura per gli operatori al fine di gestire contemporaneamente il rischio derivante dalle variazioni del prezzo di mercato e dall'incertezza volumetrica dovuta alla continua e imprevedibile fluttuazione della domanda. La presente tesi si occupa di un particolare tipo di contratto swing, frequentemente scambiato tra grossi operatori del mercato del gas naturale. I contratti swing nei mercati del gas sono noti anche come take-or-pay e sono contratti di fornitura a lungo termine che permettono flessibilità nel ritiro del gas: l'acquirente possiede infatti la possibilità (ma non l'obbligo) di decidere sia quando sia quanto gas ritirare, essendo tuttavia obbligato a soddisfare dei vincoli di quantità minima e massima sia su ciascun periodo di ritiro (solitamente il giorno) sia complessivamente sull'anno. Da un lato, tale flessibilità volumetrica ben si adatta a soddisfare una domanda altalenante e imprevedibile. Dall'altro lato, un contratto swing può semplicisticamente essere visto come una strip di opzioni sullo spread tra il prezzo del gas di mercato e il prezzo contrattuale di ritiro: in quest'ottica, esso diventa un ottimo strumento di gestione del rischio derivante dalle fluttuazioni di prezzo nel breve periodo, permettendo di non esercitare, o di esercitare il minimo possibile, nei momenti avversi. La corretta valutazione di simili contratti è oggi di grande importanza sia per ragioni di trading, essendo il prezzo di tali opzioni contrattato direttamente tra i players del mercato e non più imposto come durante il regime regolamentato, sia per ragioni di ottimizzazione di portafoglio, poiché le flessibilità volumetriche offerte possono potenzialmente essere usate anche per generare puri profitti. Partendo da quanto esposto in [6] per i mercati energy, in questa tesi si descrive e risolve, a tempo continuo, il problema del pricing di un contratto swing tipico dei mercati gas, in cui sia il prezzo di mercato quanto il prezzo contrattuale (prezzo strike, o indice) sono aleatori. In pratica, il prezzo strike viene aggiornato mensilmente, mentre il prezzo di mercato cambia con granularità almeno giornaliera: tecnicamente questo origina un problema di controllo ottimo stocastico in cui una variabile è discreta, mentre tutte le altre sono continue. Per superare questa difficoltà, e ridurre il problema ad uno classico a solo tempo continuo, si introduce una variabile di stato ad hoc, corrispondente alla dinamica a tempo continuo dell'indice. Tale variabile continua verrà successivamente campionata ad opportuni intervalli di tempo per ottenere la reale successione discreta di strikes contrattuali. Dopodiché, si dimostra che il prezzo del contratto è dato da una serie di problemi di controllo ottimo, ciascuno dei quali viene risolto all'interno di un periodo tra due cambi consecutivi dello strike. Si dimostra quindi che le funzioni valore di tali problemi di controllo ottimo sono l'unica soluzione di viscosità delle equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associate a ciascun problema, e che tali soluzioni sono sufficientemente regolari da garantire l'esistenza del controllo ottimo. Sommariamente, questo è il contenuto dei primi due capitoli, nei quali, dopo aver richiamato la nozione e i principali risultati noti sulle soluzioni di viscosità per i problemi di controllo ottimo, la teoria classica viene estesa ed applicata al problema in oggetto, portando ad alcuni nuovi risultati per le soluzioni di viscosità di equazioni paraboliche non lineari. Il terzo capitolo è dedicato ai metodi numerici. Dopo aver ricavato l'equazione HJB il problema si sposta alla soluzione della stessa. A tal fine, si introduce uno schema di soluzione numerica basato sulle differenze finite. Tale algoritmo necessita di condizioni al contorno sui domini di soluzione, che vengono ricavate analiticamente nell'ipotesi in cui la dinamica dei prezzi di gas e indice segua un caso particolare del modello di Schwartz-Smith ad un fattore, cioè quando si suppone che il logaritmo dei prezzi sia un processo di Ornstein-Uhlenbeck guidato da due moti Browniani correlati. Uno studio empirico, attraverso un caso numerico, sulla stabilità dell'algoritmo FD al variare della discretizzazione del dominio temporale e spaziale completa la parte analitica. Al fine di confrontare i risultati ottenuti con la best practice in uso nelle aziende, il popolare algoritmo noto come Least Square Monte Carlo, originariamente sviluppato da Longstaff e Schwartz per valutare opzioni di tipo americano, viene adattato al problema del pricing di contratti swing. Questo algoritmo, molto usato tra i practitioners, risolve un'approssimazione a tempo discreto del problema originale usando la ricorsione all'indietro. Ad ogni iterazione dell'algoritmo, il valore di continuazione nell'equazione di Bellman a tempo discreto viene regredito sull'informazione presente a quell'istante, ottenuta tramite delle simulazioni Monte Carlo. Due punti in questo tipo di algoritmo risultano essere particolarmente critici: la scelta del tipo e del numero di funzioni di base usate nella regressione, nonchè il numero di simulazioni Monte Carlo adottate. Per quanto riguarda la scelta del tipo di funzioni, seguendo e adattando al caso presente quanto sviluppato in [11], viene introdotto un metodo di regressione basato su funzioni radiali di base, che sembra ben adattarsi a problemi di pricing di contratti strutturati. Riguardo invece l'effetto della scelta del numero di basi e del numero di simulazioni usate nell'algoritmo LSMC, viene presentato uno studio empirico attraverso casi numerici. L'ultimo capitolo riprende quanto già pubblicato in [17] ed estende la valutazione di contratti swing in cui è presente una clausola chiamata di make-up, che in pratica permette più flessibilità nel ritiro del gas abbassando il livello minimo di ritiro di un certo anno, e forzando in uno o più anni successivi il richiamo del gas non preso. Tecnicamente, quando tale clausola è presente, non è più possibile separare il problema di valutazione sugli anni, ma è necessario considerare l'intero intervallo temporale su cui è scritta la clausola di make-up (solitamente da 3 a 5 anni). Per affrontare la complessità del pricing di un tale contratto nel capitolo si introduce un algoritmo basato su alberi, noto come lattice of trees. Dopo un'accurata descrizione di tale algoritmo, anche da un punto di vista di complessità computazionale, il quarto capitolo termina con un'applicazione reale dell'algoritmo di pricing volto ad esaminare l'impatto di vari fattori di mercato e parametri contrattuali sul prezzo di un ipotetico contratto swing