Portfolio optimization and option pricing under defaultable Lévy driven models

In questa tesi studiamo alcuni problemi di portfolio optimization e di option pricing in modelli di mercato dove le dinamiche di uno o più titoli rischiosi sono guidate da processi di Lévy. La tesi é divisa in quattro parti indipendenti. Nella prima parte studiamo il problema di ottimizzare un portafoglio, inteso come massimizzazione di un’utilità logaritmica della ricchezza finale e di un’utilità logaritmica del consumo, in un modello guidato da processi di Lévy e in presenza di fallimenti simultanei. Nella seconda parte introduciamo una nuova tecnica per il prezzaggio di opzioni europee soggette a fallimento, i cui titoli sottostanti seguono dinamiche che prima del fallimento sono rappresentate da processi di Lévy esponenziali. Nella terza parte sviluppiamo un nuovo metodo per ottenere espansioni analitiche per i prezzi di derivati europei, sotto modelli a volatilità stocastica e locale guidati da processi di Lévy, espandendo analiticamente l’operatore integro-differenziale associato al problema di prezzaggio. Nella quarta, e ultima parte, presentiamo un estensione della tecnica precedente che consente di ottenere espansioni analitiche per i prezzi di opzioni asiatiche, ovvero particolari tipi di opzioni il cui payoff dipende da tutta la traiettoria del titolo sottostante.