From Quantum Metalanguage to the Logic of Qubits

La logica introdotta in questa tesi, detta Lq, è una logica dell’ informazione quantistica. Lo scopo, infatti, era quello di descrivere logicamente la struttura del qubit (cioè, la sovrapposizione quantistica intrinseca di uno stato quantico a due livelli) e l’intreccio (entanglement) quantistico massimale di due qubits. La logica Lq è ottenuta tramite il principio di riflessione di Sambin della logica di Base, secondo il quale i legami metalinguistici tra asserzioni si riflettono (risolvendo un’ equazione definitoria) in connettivi logici tra proposizioni. Comunque, mentre nella logica di Base il metalinguaggio è classico, nel nostro caso è quantistico. Nel metalinguaggio quantistico, ciascuna asserzione atomica è dotata di un grado di asserzione, un numero complesso che viene interpretato come un’ ampiezza di probabilità. E’ proprio la presenza dei gradi di asserzione che permette l’introduzione del connettivo logico di “sovrapposizione quantistica” in Lq. Quest’ultimo è una generalizzazione del connettivo di congiunzione “and” dotato di indici complessi indicanti con quale “peso” ciascuna proposizione contribuisce alla formazione della proposizione composta. I valori (o gradi) di verità sono i moduli quadrati dei gradi di asserzione, con un range che è l’intervallo reale [0,1]. Pertanto, la logica Lq è polivalente. I gradi di verità, differentemente dalle logiche fuzzy, sono qui interpretati come probabilità quantistiche. Nella logica Lq si mantengono le tre importanti proprietà della logica di Base, cioè simmetria, riflessione e visibilità. Questa scelta è stata dettata dalle seguenti considerazioni: 1) I teoremi di no-cloning e no-erase dell’informazione quantistica non permettono di avere, nella logica corrispondente, le regole strutturali di indebolimento e contrazione, che sono in antitesi con i suddetti teoremi. Pertanto, nella ricerca di una logica dell’ informazione quantistica, ogni logica strutturale deve essere esclusa a priori. 2) La scelta tra le due più importanti logiche sub-strutturali, cioè la logica di Base e la logica Lineare, in favore della prima, è dovuta al fatto che, in assenza di visibilità, il connettivo logico “quantum entanglement” non può essere introdotto. Inoltre, si è cercata una logica dell’ informazione quantistica che avesse un calcolo deduttivo (in particolare il calcolo dei sequenti). La logica Lq sembra essere, finora, l’ unica logica dell’ informazione quantistica che possa soddisfare questi desiderata. L’ interpretazione delle asserzioni del metalinguaggio quantistico è data in termini di stati quantistici (il metalinguaggio quantistico “è” lo spazio di Hilbert). L’ interpretazione delle proposizioni di Lq è data in termini di operatori non-hermitiani, che sono misure deboli. L’ interpretazione di Lq si basa su una generalizzazione dei concetti già proposti da Birkhoff e von Neumann nella logica quantistica “ortodossa”, dove le proposizioni sono interpretate come operatori di proiezione. La differenza consiste nel fatto che in Lq le proposizioni sono interpretate invece come misure deboli, che, diversamente dalle misure proiettive, non danno luogo ad un brusco collasso della funzione d’onda. Questo permette una descrizione logica della sovrapposizione quantistica, perché essa non viene distrutta. La possibilità di interpretare le proposizioni come misure deboli, è dovuta al fatto che abbiamo introdotto un metalinguaggio quantistico. Infatti, il grado di asserzione si riflette, nell’ interpretazione delle proposizioni, con la presenza un fattore moltiplicativo complesso sui proiettori. Alcuni risultati di questa tesi sono: a) L’ adozione di un nuovo tipo di metalinguaggio, il metalinguaggio quantistico, dove i legami metalinguistici sono correlazioni quantistiche, e le asserzioni hanno un grado di asserzione complesso. b) L’ introduzione, tramite il principio di riflessione, di nuovi connettivi logici “quantistici”, quali la “sovrapposizione quantistica” e l’ “entanglement”. c) L’ introduzione di una nuova operazione duale, che è una generalizzazione della dualità logica di Sambin-Girard, che tiene conto, nell’ interpretazione, dello spazio duale di Hilbert. d) Una regola del taglio quantistica, che viene interpretata come misura quantistica proiettiva. Poiché il taglio è una meta-regola, ne consegue che una macchina quantistica non può effettuare una auto-misura e quindi auto-distruggersi. e) Una nuova meta-regola, non equivalente al taglio, detta regola EPR (rifacentesi al paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen). Questa regola permette di dimostrare simultaneamente due teoremi entanglati. f) La formulazione del “teorema del qubit”, che è la descrizione logica della preparazione dello stato quantistico del qubit ottico. g) Il fatto che il reticolo delle proposizioni di Lq nel caso di due qubits è orto-modulare non-distributivo. Quindi Lq è una logica quantistica. E’ da notare il fatto che Lq è la prima logica ad essere contemporaneamente sub-strutturale, a molti valori di verità, e quantistica.