Aspects of Affine Models in the Pricing of Exotic Options and in Credit Risk

Le strutture a termine affine con diffusione a salti (AJTSMs) stanno recentemente ricevendo molta attenzione in finanza matematica, perché spesso è semplice analizzare le funzioni di distribuzione ad esse associate. Questa tesi riguarda tre diversi aspetti della finanza matematica, applicati su certe classi di AJTSMs. Il primo aspetto riguarda il problema del prezzaggio, nel caso particolare in cui il processo sottostante Xt sia una Catena Markoviana a Tempo Continuo (CTMC). Per opzioni esotiche, dove il “claim”, cioè il “payoff” del derivato è dipende dal tempo oppure dalle traiettorie, solitamente i prezzi devono essere stimati attraverso simulazioni di tipo Monte Carlo. Mostriamo che, quando si condiziona prima sul numero Nt,T=k dei salti della catena, il calcolo di questa stima si semplifica. Viene proposta una ricorsione per calcolare il valore atteso del “payoff” scontato, dato Nt,T=k; in seguito si calcola il valore atteso del “payoff” rispetto alla distribuzione di Nt,T=k attraverso un metodo Monte Carlo. Questo condizionamento comporta una riduzione della varianza. Presentiamo i risultati di vari test numerici, che indicano che, per diversi tipi di “claims”, il metodo proposto supera spesso un semplice “vanilla” Monte Carlo. Il secondo aspetto riguarda la calibrazione, cioè la stima dei parametri di un modello finanziario, dove il processo sottostante (una Catena Markoviana finita) è solo parzialmente osservabile tramite i prezzi corrotti del titolo. In questo lavoro, assumiamo che anche i salti del prezzo del titolo corrispondenti ai tempi dei salti della catena Markoviana siano osservabili. Questo è un caso particolare della classe di modelli trattati in [FR10b]. I loro parametri possono essere stimati mediante l’algoritmo “expectation-maximization” (EM), seguendo l’approccio di [EAM08], che, nel caso delle catene a tempo discreto, coinvolge il filtro di Kalman. Estendiamo questo approccio al caso CTMC, usando invece il filtro di Wonham. Il contributo principale di questa parte della tesi è l’approssimazione numerica dei filtri e degli “smoothers” dell’algoritmo EM. Confrontiamo i classici metodi di Eulero e di Milstein con una nuova strategia, simile a [PR10a], che chiamiamo “soluzione quasi-esatta” e che è anche collegata al metodo di “splitting-up” di [BGR90] e [Gla92]. Dimostriamo che tale schema ha un ordine di convergenza forte di almeno 0.5 e che pertanto è almeno tanto efficace quanto lo schema di Eulero. Presentiamo alcuni risultati numerici che indicano che, di fatto, in certi casi il nuovo metodo converge più velocemente di entrambi i metodi di Eulero e di Milstein. Il terzo aspetto riguarda un quadro unificato per la modellazione del rischio di “equity” e “credit”, con applicazioni alla gestione del rischio. Trattiamo un AJTSM di un’azione con un’unica discontinuità (“jump-to-default”), dove il tempo di fallimento dell’azione è un tempo aleatorio doppiamente stocastico con intensità determinata da un sottostante processo affine. Questo approccio permette una piena trattabilità analitica pur lasciando flessibilità nel definire le interazioni tra il prezzo dell’azione fallibile, la volatilità stocastica e l’intensità del fallimento. Infine caratterizziamo tutte le misure di rischio neutrale che conservano la struttura affine del modello e mostriamo che sia la gestione del rischio che i problemi del prezzaggio possono essere trattati in modo efficiente passando a misure di sopravivenza appropriate. Come esempio, estendiamo il modello di volatilità stocastica di Heston considerando la possibilità di un “jump-to-default”. [FR10b] R. Frey and W. J. Runggaldier, Pricing credit derivatives under incomplete information: a nonlinear filtering approach., Finance and Stochastics 14 (2010), no. 4, 495–526. [PR10a] E. Platen and R. Rendek, Quasi-exact approximation of hidden markov chain filters., Communications on Stochastic Analysis 4 (2010), 129–142. [BGR90] A. Bensoussan, R. Glowinski, and A. Rascanu, Approximation of the zakai equation by the splitting up method, SIAM Journal of Control and Optimization 28 (1990), no. 6, 1420–1431. [Gla92] F. Le Gland, Splitting-up approximation for spde’s and sde’s with application to non-linear filtering, in: Stochastic Partial Differential Equations and Their Applications, Charlotte 1991, B. L. Rozovskii and R. B. Sowers, editors, Lecture Notes in Control and Information Sciences 176 (1992), 177–187.