Essays on Quantization in Financial Mathematics

Questa tesi si occupa dello studio delle applicazioni della quantizzazione alla Finanza Matematica, in particolare al prezzaggio di opzioni e alla calibrazione su dati finanziari. La quantizzazione è una tecnica che ha le sue origini dalla probabilità numerica, e consiste nell’approssimare variabili aleatorie e processi stocastici continui nello spazio delle realizzazioni con una versione discreta, allo scopo di semplificare gli algoritmi di quadratura per il calcolo di valori attesi. L’obiettivo di questa tesi è di mostrare la grande flessibilità che può avere la quantizzazione nell’ambiente della probabilità numerica e del prezzaggio di opzioni. Nella letteratura spesso esistono metodi ad hoc per ogni tipo di modello e di derivato, ma non sembra esserci una metodologia unica. I metodi alle differenze finite soffrono fortemente della curse of dimensionality, mentre i metodi Monte Carlo necessitano di un grande sforzo computazionale, e non sono pensati per esercizi di calibrazione. La quantizzazione può a volte risolvere problemi specifici di queste tecnologie, e presenta una metodologia alternativa per una grande classe di modelli e di derivati. Lo scopo della tesi è duplice: in primo luogo, l’estensione della letteratura sulla quantizzazione ad un’ampia gamma di processi, cioè processi a volatilità locale e stocastica, affini, di puro salto e polinomiali, è di per se un interessante esercizio teorico. Infatti, per ogni tipo di processo dobbiamo considerare le sue proprietà specifiche, adattando quindi l’algoritmo di quantizzazione. Inoltre, è importante considerare i risultati computazioni dei nuovi tipi di quantizzazione introdotti, in quanto è fondamentale sviluppare algoritmi che siano veloci e stabili numericamente, allo scopo di superare le problematiche presenti nella letteratura per altri tipi di approcci. Il primo filone di ricerca si occupa di una tecnica chiamata Quantizzazione Marginale Ricorsiva. Introdotta in Pagès and Sagna (2015), questa metodologia sfrutta la distribuzione condizionale dello schema di Eulero di un’equazione differenziale stocastica unidimensionale per costruire un’approssimazione passo passo del processo. In questa tesi generalizziamo questa tecnica ai sistemi di equazioni differenziali stocastiche, in particolare al caso dei modelli a volatilità stocastica. La Quantizzazione Marginale Ricorsiva di processi stocastici multidimensionali permette il prezzaggio di opzioni Europee e di opzioni path dependent, in particolare le opzioni Americane, e di effettuare calibrazione su dati finanziari, dando quindi un’alternativa, e spesso superandole, alle tipiche tecniche di Monte Carlo. La seconda linea di ricerca tratta la quantizzazione da una prospettiva differente. Invece di usare schemi di discretizzazione per il calcolo della distribuzione di un processo stocastico, viene sfruttata le proprietà della funzione caratteristica e della funzione generatrice dei momenti di una vasta classe di processi. Consideriamo infatti il processo del prezzo a maturità come una variabile aleatoria, e ci focalizziamo sulla quantizzazione della variabile casuale, invece di considerare tutto il processo stocastico. Questo approccio porta a una tecnologia più veloce e precisa per il prezzaggio di opzioni, e permette la quantizzazione di un vasto insieme di modelli, che non potevano essere affrontati dalla Quantizzazione Marginale Ricorsiva.