Due problemi di teoria analitica dei numeri: somme armoniche con i primi e distribuzione delle cifre di quozienti fra interi

In the first part of this thesis we extend the results of the paper “Small values of signed harmonic sums” by Bettin, Molteni & Sanna (2018). There, the authors consider harmonic truncated series, where the summands can have a positive or a negative sign; using these objects to approximate any real value, they study the function that measures the precision of this approximation. In particular, they prove some bounds for this function in some specific ranges. In this thesis, we prove that the same result holds not only for the sequence of all natural numbers, but also for any subsequence that satisfies a growth hypothesis. Besides, in the case of the sequence of numbers that are the product of k distinct primes, where k is a fixed natural number, we obtain a significant improvement on the bounds for the approximating function. In the second part of this thesis, we improve the result of the paper “Probability of digits by dividing random numbers: a ψ and ζ functions approach” by Gambini, Mingari Scarpello & Ritelli (2012). The authors study there the distribution of the nth digit after the decimal point (in different bases) of all possible ratios between the first N natural numbers: they prove that it is not uniform, but it follows a law analogous to Benford’s one. In this thesis, we improve the error term found by the authors; besides, we study some further and different aspects and some variations of the problem, such as the uniformity of the formula.

Nella prima parte della tesi si estendono i risultati dell’articolo “Small values of signed harmonic sums” di Bettin, Molteni & Sanna (2018). In esso, gli autori considerano serie armoniche troncate, in cui si ammette per ogni addendo la possibilità del segno positivo o negativo, e studiano la funzione che misura quanto precisamente si possa approssimare un valore reale con tali oggetti. Nello specifico, vengono dimostrate delle limitazioni per tale funzione in alcuni intervalli di validità. Nella tesi si è dimostrato che lo stesso risultato vale non solo per la successione di tutti i naturali, ma anche per ogni sua sottosuccessione che rispetti ragionevoli ipotesi di crescita. Inoltre, nel caso specifico della successione dei numeri che sono il prodotto di k fattori primi distinti, dove k è un numero naturale fissato, è stato possibile migliorare sensibilmente le limitazioni per la funzione approssimante. Nella seconda parte della tesi si migliora il risultato dell’articolo “Probability of digits by dividing random numbers: a ψ and ζ functions approach” di Gambini, Mingari Scarpello & Ritelli (2012). Gli autori studiano in esso la distribuzione dell’ennesima cifra dopo la virgola (in diverse basi di numerazione) di tutti i possibili quozienti tra i primi N numeri naturali, dimostrando che essa non è uniforme, ma che segue una legge affine alla legge di Benford. Nella tesi, si migliora il termine d’errore proposto dai tre autori; inoltre, si studiano degli aspetti differenti e ulteriori e alcune varianti del problema, come ad esempio l’uniformità della formula.