Entropy production in non-equilibrium systems

In questa tesi studiamo la produzione di entropia in sistemi fuori dall'equilibrio. Nella prima parte ci concentriamo su sistemi con un numero finito di stati, vicini all'equilibrio termodinamico, che possono essere descritti da una Master Equation. Per sistemi di questo tipo è possibile mappare la dinamica in una rete di stati, rappresentati da nodi, collegati da rate di transizione, identificati da links. In questo contesto, analizziamo la produzione di entropia di ensemble di reti generate casualmente con vincoli specifici, ad esempio la taglia del sistema, e identifichiamo i parametri più importanti che ne determinano il valore. Questa analisi fornisce una stima per la produzione di entropia basata che può essere utilizzata come punto di partenza per il confronto con particolari sistemi di interesse. Nella seconda parte della tesi esaminiamo come il coarse-graining influenzi la nostra capacità di stimare alcune proprietà fisiche di un sistema. Per sistemi fuori dall’equilibrio descritti da una Master Equation, la produzione di entropia può essere stimata utilizzando la formula di Schnakenberg. D'altra parte, alcuni anni fa Seifert ha derivato una formula analoga per sistemi descritti da una Fokker-Planck Equation. In questa tesi miriamo a creare un ponte fra queste due formulazioni e, partendo da un sistema con un numero finito di stati calcoliamo come la produzione di entropia di Schnakenberg sia influenzata dalla procedura di coarse-graining. Mostriamo che tale valore può essere ridotto alla formula di Seifert per alcune scelte particolari della dinamica, ma che, abbastanza sorprendentemente, in generale i flussi microscopici presenti nel sistema danno un contributo macroscopico non negativo alla produzione di entropia. Di conseguenza, trascurare alcune informazioni porta a sottostimare la produzione di entropia, e solo un limite inferiore può essere fornito quando la dinamica è coarse-grained. Infine, nell’ultima sezione della tesi, studiamo somiglianze e differenze tra stati stazionari di non equilibrio e driving periodico in sistemi diffusivi. Un sistema che viola il bilancio dettagliato evolve asintoticamente in uno stato stazionario, che non è uno stato di equilibrio poiché presenta correnti non nulle. Analogamente, quando il bilancio dettagliato è presente in ogni istante di tempo, ma il sistema subisce variazioni periodiche dei parametri esterni, quest’ultimo evolve verso uno stato periodico in cui sono presenti correnti non nulle. In entrambi i casi il costo per produrre tali correnti in tutto il sistema è rappresentato dalla produzione di entropia. In questa tesi miriamo a confrontare questi due scenari per un sistema diffusivo continuo monodimensionale con condizioni al contorno periodiche, descritto da un'equazione di Fokker-Planck, che è il modo più naturale per analizzare le macchine molecolari. Innanzitutto, mostriamo che la produzione di entropia non è equivalente in questi due scenari: il rate di produzione di entropia in un sistema con driving periodico è sempre maggiore del rate di produzione di entropia in un sistema stazionario senza bilancio dettagliato, quando entrambi producono la stessa corrente e hanno la stessa distribuzione di probabilità (mediata nel tempo). Successivamente, mostriamo come costruire sia uno stato stazionario di non equilibrio sia un protocollo di variazione periodica dei parametri esterni che producano una data probabilità (mediata nel tempo) e una data corrente.