The cardiovascular system: a numerical study

Lo scopo di questa tesi riguarda lo studio di matematico e numerico del sistema cardiovascolare. Questo lavoro comprende i tre rami principali correlati allo studio del sistema cardiovascolare, riguardanti la modellazione delle arterie, la modellazione valvole cardiache e la modellazione dell'elettromeccanica cardiaca. Il lavoro è suddiviso in tre parti, ognuna delle quali tratta un ramo specifico. In ogni parte questo lavoro il punto di partenza è rappresentato da un problema specifico e noto in letteratura; vengono quindi suggerite soluzioni originali finalizzate ad ottenere una soluzione più accurata e / o con un costo computazionale più conveniente. Nella prima parte viene proposto un nuovo modello monodimensionale per le arterie, in grado di riprodurre anche gli effetti legati all'interazione fluido-struttura, non presenti nei modelli classici presenti in letteratura. In particolare, si dimostra che con una modifica molto economica in termini computazionali è possibile riprodurre anche in un modello unidimensionale il cosiddetto effetto massa aggiunta, un effetto legato alla multidimensionalità del campo di moto quando si ha a che fare con condotti deformabili. Viene inoltre proposta una soluzione analitica per il moto a transitorio del flusso in un condotto rigido di lunghezza indefinita. Per quanto riguarda i flussi a regime periodico, la soluzione classica di riferimento adottata in letteratura è rappresentata dal flusso alla Womersley. Anche se precisa, quest'ultima consente solamente lo studio del moto quando il flusso è completamente sviluppato; al contrario, non è in grado di riprodurre ciò che accade, per esempio, subito dopo una variazione improvvisa di pressione. In questa tesi viene proposta una soluzione in grado di riprodurre anche il moto quando non è pienamente sviluppato. Dal punto di vista applicativo vengono studiati due casi particolari: l'avvio di un dispositivo di circolazione extra-corporea (fluido inizialmente a riposo) e una doppia variazione di pressione (condizioni iniziali non omogenee), costituita da un calo improvviso di pressione seguito da un ristabilirsi della pressione iniziale, come accade nei casi di svenimento. Nella seconda parte si determina una stima della stabilità relativamente al metodo degli elementi finiti immersi. Fino ad oggi, in letteratura la descrizione strutturale viene eseguita tramite polinomi continui lineari a tratti; in questo lavoro una nuova stima viene effettuata quando la struttura sia descritta da polinomi continui a tratti di ordine arbitrario, stima che chiaramente comprende come caso particolare quello dei polinomi lineari. Inoltre per il solo caso implicito, si dimostra che esiste anche un limite inferiore, anche se non determinabile esplicitamente, per l'incremento temporale, per avere stabilità dello schema numerico. Degli esempi numerici mostrano l'attendibilità dei risultati ottenuti. Si presenta inoltre un confronto fra i metodi ALE e IFEM per il caso della simulazione di una struttura immersa, come potrebbe essere una valvola cardiaca. I risultati hanno evidenziato che lo schema ALE presenta un costo di calcolo (in termini di sotto-iterazioni necessarie per arrivare a convergenza) proporzionale allo spostamento della struttura (come conseguenza della distorsione della griglia su cui viene risolto il moto del fluido), mentre la formulazione IFEM ne rimane indipendente. La terza parte si occupa dell'accoppiamento elettromeccanico dell'attività cardiaca. L'attività elettrica cardiaca viene in genere analizzata attraverso i dati ottenuti dalla elettro-cardiogramma, un dispositivo medico non invasivo capace di rappresentare graficamente l'andamento nel tempo delle differenze di potenziale extracellulare sussistente tra differenti posizioni del corpo. Fino ad oggi lo studio della attività cardiaca è stato effettuato trattando in maniera indipendente l'elettro-fisiologia e la meccanica, cioè senza considerare l'esistenza di un feedback tra di loro. In questo lavoro la soluzione viene determinata considerando il feedback elettro-meccanico, attraverso la soluzione di un problema non lineare completamente accoppiato, essendo entrambe le soluzioni (elettro fisiologia e meccanica) reciprocamente dipendenti. A causa del cambiamento del tensore conduttività, dovuto alla deformazione cardiaca, in alcune terminazioni dell'elettro-cardiogramma si riscontrano risultati differenti dal caso in cui si supponga il cuore fisso nello spazio. Inoltre, si sono riscontrate distribuzioni differenti tra il problema risolto con feedback e quello risolto senza feedback, sia per quanto concerne il potenziale trans-membranale, sia per quanto concerne il potenziale extracellulare.