Boundedness and compactness of matrix operators in weighted spaces of sequences and their applications

Questa tesi è dedicata allo studio di condizioni necessarie e sufficienti per cui valga una disuguaglianza di tipo Hardy con peso in uno spazio pesato di successioni e nel cono delle successioni monotone non-negative, e alle corrispondenti applicazioni. Proviamo una nuova disuguaglianza discreta di tipo Hardy con nucleo di forma più generale di quelli noti in letteratura. La tesi consiste di quattro capitoli. Nel Capitolo 1 descriviamo brevemente lo sviluppo e lo stato attuale della teoria delle disuguaglianze di tipo Hardy. Inoltre il Capitolo 1 contiene l'enunciato e la motivazione dei problemi e dei principali risultati. Nel Capitolo 1 presentiamo anche alcuni fatti ausiliari ben noti e la notazione necessaria per le disuguaglianze di tipo Hardy negli spazi pesati di successioni e nel cono delle successioni monotone non-negative. Nel Capitolo 2 studiamo il problema della limitatezza e compattezza degli operatori matriciali negli spazi pesati di uccessioni. Introduciamo una classe generale di matrici e le loro proprietà. Inoltre il Capitolo 2 contiene esempi di matrici delle classi introdotte e qui mostriamo che tali classi di matrici contengono ben noti operatori classici come l'operatore di sommazione multipla, l'operatore di Hoelder, l'operatore di Cesaro ed altri. Stabiliamo condizioni necessarie e sufficienti per la limitatezza e la compattezza di operatori matriciali in spazi pesati di successioni, nel caso in cui le corrispondenti matrici appartengano a tali classi. Tali classi di matrici sono più grandi di quelle che sono state studiate in precedenza nella teoria delle disuguaglianza discrete di tipo Hardy. Inoltre, si dimostrano anche dei risultati ad esse relativi. Nel Capitolo 3, studiamo una disuguaglianza di tipo Hardy ristretta al cono delle successioni non-negative e non crescenti in condizioni più deboli di quelle studiate prima nella letteratura. Otteniamo dei nuovi risultati che generalizzano i risultati noti su questo argomento. Il Capitolo 4 è dedicato alle applicazioni dei risultati principali. Qui applichiamo i risultati principali del Capitolo 2 al fine di ottenere criteri di limitatezza e compattezza per la composizione di operatori matriciali in spazi pesati di successioni. Utilizzando i risultati del Capitolo 2 otteniamo condizioni necessarie e sufficienti affinchè valgano disuguaglianze di tipo Hardy a tre pesi. Inoltre nel Capitolo 4, sfruttando i risultati dei Capitoli 2 e 3 otteniamo stime bilatere per matrici sommabili in spazi pesati di successioni e nel cono delle successioni non negative e non crescenti.