ON 1-Motives with torsion and their l-ADIC realisations

Nel primo capitolo introduciamo la categoria abeliana M degli 1-motivi con torsione, costruita da L. Barbieri-Viale, A. Rosenschon e M. Saito. Essa e il punto di partenza di questa tesi. Deniamo anche le realizzazioni l-adiche degli 1-motivi con torsione, e diamo descrizioni dei primi gruppi di estensione di Yoneda tra 1-motivi semplici. Il secondo capitolo e dedicato ad alcuni risultati coomologici usati nella tesi. Siamo per lo piu interessati alla coomologia di Galois, ai gruppi di coomologia continui, gruppi di estensione di Yoneda, e alcune sequenze spettrali che collegano questi tipi di gruppi. Alla ne del capitolo dimostriamo anche la noetherianita di M. Nel suo articolo \Groupes Proalgebriques, Serre descrisse le proprieta della categoria dei gruppi commutativi quasi-algebrici introducendo i gruppi pro-algebrici. Piu tardi Oort nel suo libro \Commutative Group Schemes" dimostro che la dimensione omologica della categoria abeliana (G) degli sche- mi in gruppo algebrici commutativi su un campo algebricamente chiuso di caratteristica positiva e 2. Milne lego la dimensione omologica di (G) su un 1 campo perfetto k alla dimensione coomologica del gruppo di Galois di k nel caso in cui k non sia algebricamente chiuso. Seguendo queste idee, nel terzo capitolo dimostriamo che la dimensione omologica d(M) della categoria abelianaMsu un campo perfetto k vale d+1, dove d e la dimensione coomologica del gruppo di Galois assoluto di k. In particolare, d(M) = 2 su un campo nito, d(M) = 3 su un campo di numeri totalmente immaginario, e d(M) = d+1 = 1 su un campo di numeri non totalmente mmaginario. Per campi di numeri non totalmente immaginari, sebbene in generale d(M) = 1, si ha d(M\otimes Z[1/2]) = 2 + 1 = 3. Nell'ultimo capitolo confrontiamo il gruppo Hom e il primo gruppo di estensione di Yoneda tra due 1-motivi con torsione M e M0 col corrispondente gruppo Hom e il primo gruppo di estensione di Yoneda tra le loro realizzazioni l-adiche. In particolare generalizziamo il teorema di Falting sugli omomorsmi tra varieta abeliane su campi niti (il teorema di Tate in questo caso) e campi di numeri agli 1-motivi con torsione. Mostriamo che il gruppo Ext^1_{\mathcal{M}}(M;M')\otimes Z_l si immerge nel gruppo Ext^1_{\mathcalR}(T_lM; T_lM') tramite la mappa Tl. Su campi niti diamo una descrizione esplicita delle mappe T_l per i gruppi Exti per ogni i > 0. In particolare il gruppo Ext^1_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l si immerge nel sottogruppo di torsione di Ext^1_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM') tramite la mappa T_l; l'immagine di Ext^2_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l tramite Tl e il gruppo Ext^2_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM').