Structural material damage: novel methods of analysis

Nella teoria classica della meccanica dei solidi, la formulazione matematica include derivate parziali, grazie alle quali si possono rappresentare stati di deformazione come funzioni degli spostamenti relativi dei nodi in cui è discretizzato il sistema continuo. Una carenza rilevante dovuto all’utilizzo delle derivate è legato ai risultati privi di significato fisico ottenuti in prossimità delle discontinuità perché le derivate non sono definite laddove manca un campo di spostamenti continuo, come può capitare in presenza di dislocazioni, vuoti, cricche, interfacce tra fasi differenti nello stesso corpo e bordi dei grani. Dato che la formazione spontanea e la crescita di discontinuità sono di grande importanza in meccanica dei solidi, diverse tecniche sono state utilizzate per superare questa incapacità della teoria di descrivere il comportamento dei materiali in tali condizioni, perché situazioni in cui le strutture sono incapaci di continuare a svolgere la propria funzione devono essere evitate, specialmente per strutture aerospaziali, in primo luogo, per ragioni di sicurezza ed, in secondo luogo, per motivi economici. Uno di questi nuovi approcci riguarda l’utilizzo di teorie non locali basate su formulazioni integrali (più precisamente formulazioni integro-differenziali), definite anche quando campi di spostamento non derivabili sono presenti. La teoria “Peridynamics” è una di queste teorie: è stata proposta da Stewart Silling nel 2000 [1] così da adottare una formulazione unica e coerente capace di descrivere i comportamenti dei materiali in corpi sia continui che discontinui, evitando l’uso di equazioni alle derivate parziali o la definizione a priori di alcune condizioni che possono influenzare (e in un certo senso favorire) dei risultati. Ci sono due versioni di modelli peridinamici: la state-based, e un suo caso particolare, la bond-based, che è stata introdotta per prima (vedi [1, 2]). Nella versione bond-based, le forze tra due punti materiali dependono unicamente dal loro spostamento relativo e dalla loro posizione relativa iniziale, oltre che dalle proprietà del materiale. Vista la sua semplicità a confronto con la seconda versione, la maggior parte delle applicazioni e degli articoli sulla Peridynamica ha adottato la formulazione bond-based. Tuttavia, i modelli nella formulazione bond-based sono caratterizzati da alcune limitazioni (le stesse dei modelli di altre teorie atomistiche e dei modelli di dinamica molecolare [3], anche se la Peridinamica è una teoria del continuo, non discreta), la più notevole di queste è il modulo di Poisson fisso: 1/4 nelle simulazioni 3D oppure in caso di deformazione piana 2D, e 1/3 nelle simulazioni in stato di tensione piana 2D (si veda per esempio [1, 4]). Questa particolarità implica altre restrizioni, come l’impossibilità di riprodurre la condizione di incomprimibilità plastica in maniera accurata. Tuttavia, per la maggior parte degli scopi, la formulazione bond-based è sufficiente e fornisce risultati approssimati soddisfacenti. I modelli della versione state-based rimuovono queste restrizioni, permettendo che le interazioni tra due punti possano dipendere da tutte le interazioni (i “bond”) connessi ad almeno uno dei due punti, tramite delle mappe avanzate chiamate “states”. Inoltre, ci sono due tipi di formulazioni state-based: la ordinary e la non-ordinary [2, 5, 6]. Nella formulazione ordinary, le forze tra due punti materiali agiscono lungo la congiungente i due punti nella configurazione deformata, mentre nella formulazione non-ordinary, questa caratteristica non è più vera. La formulazione ordinary della state-based necessita di modelli costitutivi appositamente derivati, come per esempio i modelli di viscoelasticità e platicità in [7, 8]. Per la formulazione non-ordinary della state-based, due approcci sono stati proposti: lo sviluppo di un modello esplicito per l’espressione dello state della forza peridinamica [2] e lo sviluppo di una mappa grazie alla quale le relazioni costitutive della meccanica classica sono incorporate per stabilire indirettamente la relazione tra la forza d’interazione e la deformazione. I modelli derivanti dal secondo approccio sono chiamati modelli correspondence [2]. L’argomento di questa tesi è lo sviluppo di modelli per particolari tipi di analisi e la ricerca di possibili vantaggi e inconvenienti di questa teoria nuova ed inesplorata, così da identificare alcune linee guida per la scelta di parametri fondamentali per le analisi. Durante il primo anno del corso di dottorato, lo stato dell’arte relativo a questa teoria è stato studiato e i solutori statici lineari e non lineari nella formulazione bond-based sviluppati precedentemente in ambiente Matlabr sono stati analizzati, usati e migliorati. Durante il secondo anno, l’autrice di questa tesi si è concentrata sulla seconda versione, basata su concetti di matematica avanzata con cui ha preso dimestichezza grazie al corso di analisi funzionale seguito il primo anno. Uno dei principali contributi originali alla letteratura esistente presenti in questa tesi è lo sviluppo dei modelli linearizzati 2D del modello solido lineare nella formulazione state-based. Questi modelli sono particolarmente utili quando semplificazioni di stato piano di tensione o di deformazione possono essere assunte per la simulazione di un sistema tridimensionale, che altrimenti verrebbe descritto da un modello 3D che necessiterebbe di risorse computazionali più elevate (in termini di tempo e memoria). Una particolare attenzione è richiesta per quest’aspetto, perché, essendo un approccio non locale, implementare un codice basato sulla teoria peridinamica richiede in generale più risorse computazionali di un codice basato su un approccio locale. Lo studio della versione state-based è iniziato prima di andare all’estero e lo sviluppo dei modelli 2D si è poi completato durante il soggiorno di sei mesi alla University of Nebraska-Lincoln negli Stati Uniti. Sono stati sviluppati sia un codice dinamico che uno statico. I parametri principali di questi modelli sono stati analizzati e i modelli linearizzati si possono trovare descritti nel capitolo 1.2.2. Lo studio dei criteri di frattura adottabili nella formulazione state-based e il miglioramento degli algoritmi in Matlabr per accelerare i codici e ottimizzare le risorse di memoria e gestione dei dati sono stati gli argomenti principali del terzo anno. Alcuni criteri di frattura, presentati nel capitolo 1.2.3, sono stati proposti per materiali lineari elastici omogenei e caratterizzati da frattura fragile. Sono criteri basati sul massimo allungamento: un’interazione non locale (“bond”) viene meno quando un valore critico di allungamento è raggiunto; questo valore di allungamento critico è calcolato dal lavoro richiesto per rompere il bond e questo lavoro è a sua volta legato all’energia di frattura. I risultati ottenuti sono stati confrontati con dati sperimentali per casi sia statici che dinamici, sia nella formulazione bondbased che in quella state-based. La descrizione dettagliata degli algoritmi si trova nel capitolo 3, mentre i risultati sono riportati nei capitoli 4 e 5.