Una formulazione surrogata e metodi efficienti per la soluzione di problemi di ottimizzazione topologica riguardanti autovalori

Il lavoro di tesi discute di metodologie ad alta efficienza computazionale per la soluzione di problemi agli autovalori nel contesto dell’ottimizzazione topologica, con particolare riguardo al caso della dinamica strutturale. Nei campo dell’ottimizzazione strutturale compaiono spesso grandezze connesse ad autovalori e che rappresentano quantità di diretto interesse progettuale, quali frequenze proprie o carichi critici della struttura. Un’accurata valutazione di tali parametri è essenziale ai fini del controllo delle vibrazioni o per la prevenzione di fenomeni di instabilità. Ciò assume interesse, a maggior ragione, per strutture ottimizzate, ad esempio, per la riduzione del peso, della deformabilità o delle tensioni. La configurazione strutturale risultante da tali criteri, infatti, può presentare elementi snelli ed essere molto sensibile a sollecitazioni dinamiche o all’instabilità. Perciò, tali fenomeni devono essere esplicitamente considerati nella formulazione del problema di ottimizzazione, come obiettivo principale oppure come vincoli. In ambo i casi ciò richiede la soluzione di un problema agli autovalori ad ogni iterazione del procedimento di ottimizzazione e ciò rende il procedimento stesso molto più oneroso e complesso, sia dal punto di vista teorico che da quello computazionale. L’ottimizzazione topologica è uno strumento potente che permette la definizione di una configurazione strutturale ottimale. Negli ultimi decenni, una considerevole quantità di ricerca è stata indirizzata a tale metodologia e diverse strategie risolutive sono state proposte. Nonostante ciò, la soluzione di problemi agli autovalori aventi dimensioni estreme (10^6-10^9 incognite) continua ad essere un ostacolo, che rallenta l’applicazione dell’ottimizzazione topologica a problemi a grande scala. Nel presente lavoro viene proposta una strategia che permette la soluzione di tali problemi. Il nucleo concettuale del metodo sta nell’introduzione di un problema “surrogato”, avente come obiettivo la minimizzazione della risposta in frequenza per un’opportuna forzante armonica. Tale surrogato richiede la risoluzione di soli sistemi lineari e dunque è, in generale, di più semplice trattamento. Inoltre, si può dimostrare che sotto opportune ipotesi riguardo la scelta dei parametri della forzante, la soluzione del problema surrogato conduce a risultati ingegneristicamente equivalenti a quelli forniti dal problema agli autovalori originale. Alcuni metodi vengono poi discussi per la soluzione efficiente di tale problema e una nuova strategia multilivello viene proposta. L’idea alla base di quest’ultima è quella di un solutore multigrid, avente complessità ottimale, cui alcuni sviluppi originali vengono introdotti sfruttando le caratteristiche dello specifico problema in oggetto. L’approccio proposto viene testato su alcuni problemi modello, dimostrandone l’efficacia ed elevata efficienza computazionale. Problemi 3D, aventi più di 8 milioni di incognite, vengono risolti utilizzando una ragionevole quantità di risorse computazionali.