Controllability and optimization of deformable bodies in fluids: from biology to robotics

Questa tesi di dottorato prende culturalmente le origini abbastanza lontane nel tempo. La mia tesi 3-nnale in Matematica consistette in un lavoro di ricomposizione teorica e numerica di una congettura di Alberto Bressan, atta al superamento del paradosso dello "Scallop Theorem". Purcell nel 1977 formalizzo questo famoso paradosso secondo cui un nuotatore 1-dim (scallop), che si muove aprendo e chiudendo alternativamente le sue valve, non ha uno spostamento netto in un fluido viscoso (nel modello Stokes), data la reversibilita nel tempo delle equazioni del moto. Nella tesi di laurea magistrale, condotta in collaborazione anche con il prof. Antonio De Simone della Sissa, si entrò in dettaglio nello studio del sistema nuotatore-fluido, coinvolgendo la teoria geometrica del controllo meccanico di nuotatori modellizzati finito dimensionalmente. La tesi e divisa in tre parti, una e stata sviluppata e portata avanti in collaborazione con il prof. Antonio De Simone della Sissa, il prof Francosì Alouges dell'Ecole Polytechnique di Parigi e altri due ricercatori francesi, Laetitia Giraldi e Pierre Martinon. Con loro abbiamo analizzato e definito una struttura cinematica generale per trattare il problema dell'auto-propulsione in un fluido a bassi numeri di Reynolds. Abbiamo formulato il problema in termini di un potenziale di gauge A, che ci fornisce il moto rigido netto risultante da un arbitrario cambiamento di forma. Per studiare a fondo le implicazioni che la controllabilità del nuotatore può avere sulla realizzazione di dispositivi bio-ispirati, abbiamo costruito un modello nuovo per micro nuotatori filiformi, che e piu maneggevole. Abbiamo presentato un modello discreto di un nuotatore filiforme che nuota propagando bending waves lungo il suo corpo e in cui le interazioni idrodinamiche sono trattate usando l'approssimazione locale della Resistive Force Theory (RFT). Il modello e facile da assemblare e risolvere e sorprendentemente accurato. Inoltre abbiamo provato che per il numero di link N maggiore di 3 e per quasi ogni lunghezza dei link, usati per approssimare il corpo del nuotatore, questo e controllabile in tutto il piano. I risultati ottenuti in questa parte sono stati pubblicati durante il dottorato nelle seguenti pubblicazioni: - P.Martinon, L. Giraldi and M. Zoppello "Controllability and Optimal Strokes for N-link Micro-swimmer" Conference on Decision and Control 2013. - F.Alouges, A. DeSimone, L. Giraldi, and M. Zoppello "Self-propulsion of slender micro-swimmers by curvature control: N-link swimmers". International Journal of Non-Linear Mechanics, 2013. Successivamente ci siamo focalizzati sul trovare una strategia di nuoto che facesse muovere l'N-link swimmer tra due configurazioni fissate nel minimo tempo e sul trovare anche il design migliore (rapporto tra le lunghezze dei link) per massimizzare lo spostamento. Le simulazioni numeriche sono consistenti con le nostre predizioni teoriche per piccole deformazioni. Maggiori dettagli si trovano nell'articolo: - P.Martinon, L. Giraldi and M. Zoppello. "Optimal design of the three-link Purcell swimmer" Physical Review E (2014) Nella seconda parte della tesi si studia la natura geometrica del problema del nuoto di un corpo continuo deformabile immerso in un fluido bidimensionale ideale incomprimibile e irrotazionale. Si affronta un problema nuovo ed originale: lo studio delle proprieta di controllabilità di un sistema dinamico che parte con impulso iniziale non nullo. Reinterpretando le forze idrodinamiche esercitate dal fluido sul corpo come termini cinetici e descrivendo i cambiamenti di forma con un numero nito di parametri, si ottengono le equazioni del moto. Usando poi tecniche classiche in teoria del controllo si è in grado di ottenere risultati interessanti sulla controllabilità di questo tipo di sistemi. In piu dettaglio: (i) se il nuotatore parte con impulso iniziale nullo, ritroviamo risultati presenti in letteratura, piu precisamente siamo sempre in grado di trovare una velocita di deformazione appropriata che fa spostare il nuotatore tra due configurazioni fissate; (ii) se invece il corpo parte con impulso iniziale diverso da zero, il nuotatore può auto-propellersi in quasi ogni direzione se e in grado di deformarsi con velocita sufficientemente elevata. Il fatto che teniamo conto della presenza di un impulso iniziale non nullo e l'analisi della controllabilità del sistema sembra innovativo e rende lo studio del nuoto in fluidi ideali piu accurato e completo. I risultati prodotti in questa parte, sviluppati nel secondo anno di dottorato, sono stati inseriti nel lavoro - M. Zoppello, F. Cardin. "Swim like motion of bodies immersed in an ideal fluid" Submitted (2014). Infine nella terza parte, affrontata durante l'ultimo anno di dottorato, abbiamo svolto uno studio di fattibilita per la realizzazione ingegneristica di nuotatori microscopici articiali, formati da una testa, usata come contenitore, e da una sottile coda flessibile costituita da materiale permanentemente magnetico, messi in moto da un campo magnetico esterno oscillante. I nostri risultati, illustrati nell'articolo: - F. Alouges, A. DeSimone, L. Giraldi, M. Zoppello "Can magnetic multilayers propel articial micro-swimmers mimicking sperm cells?" SoftRobotics (2015). indicano che, per un sistema caratterizzato da parametri geometrici consistenti con quelli ottenibili dalle moderne tecniche di costruzione e da valori realistici dei parametri magneto-elastici (ad esempio quelli del Permalloy), possono essere ottenute interessanti performance di nuoto usando campi magnetici facilmente producibili in laboratorio. La nostra analisi mostra che i nuotatori magneto elastici da noi descritti si muovono con un meccanismo molto diverso da quelli precedentemente riportati nella letteratura sui filamenti magneto elastici. Infatti la deformazione del nuotatore consiste di una rotazione globale e di una deformazione fluente con curvatura spaziale costante, entrambe oscillanti nel tempo alla stessa frequenza del campo magnetico esterno, ma con una traslazione di fase.