GAUSS QUADRATURE FOR LINEAR FUNCTIONALS AND NEW SEQUENCE TRANSFORMATIONS

Questa tesi si compone di due parti. Nella prima parte viene presentata un'estensione della formula di quadratura di Gauss per l'approssimazione dei funzionali lineari quasi-definiti. Tale estensione viene costruita partendo dalla teoria dei polinomi ortogonali e in particolare dalla relazione tra le successioni di tali polinomi e alcune matrici dette matrici di Jacobi. La formula qui proposta, detta quadratura di Gauss a n pesi, soddisfa tutte le principali proprietà delle formula “classica” che definiremo quadratura di Gauss a n nodi. Inoltre, la tesi mostra come tale estensione possa essere calcolata tramite l'algoritmo di Lanczos non Hermitiano, al pari della formula a n nodi che può essere ottenuta tramite l'algoritmo di Lanczos Hermitiano. Al termine della prima parte sono presentati alcuni risultati preliminari relativi a una delle possibili applicazioni. Si tratta dell'approssimazione di indici di centralità di reti complesse, ovvero indici che stabiliscono quale nodo in un grafo è considerato più importante in termini di facilità di trasmissione di informazioni con altri nodi. Nella seconda parte sono proposte alcune trasformazioni di successioni. Tali trasformazioni sono utilizzate al fine di ottenere, a partire da alcuni elementi di una successione data, un'altra successione che converge allo stesso limite ma a velocità maggiore. Infatti, spesso in analisi numerica e nella matematica applicata vi sono esempi di successioni, ottenute per esempio dai metodi iterativi, che convergono talmente lentamente da risultare inutili. È ben nota l’impossibilità di definire una trasformazione in grado di accelerare la convergenza di qualunque successione. Inoltre, usualmente le trasformazioni costruite per accelerare piccole classi di successione danno risultati migliori. Per questa ragione nel secondo capitolo di questa parte sono definite tre nuove trasformazioni in grado di accelerare una classe di successioni che estende quella relativa al noto processo di Aitken. Nella tesi vengono poi date condizioni necessarie affinché si abbia accelerazione della convergenza per la migliore delle tre trasformazioni proposte. Infine, tale trasformazione viene confrontata con altre trasformazioni. Da tale confronto si sono ottenuti risultati competitivi con alcuni dei più noti metodi di accelerazione (processo di Aitken, algoritmo ε, algoritmo θ, trasformazione di Levin).