SOME PROPERTIES OF THE MOEBIUS FUNCTION IN THE SUBGROUP LATTICE OF THE ALTERNATING AND SYMMETRIC GROUPS

In questa tesi analizziamo alcune proprietà della funzione di Moebius nel reticolo dei sottogruppi dei gruppi Alterno e Simmetrico di grado n, Alt(n) and Sym(n). Lo studio di questa funzione è strettamente correlato allo studio della funzione zeta probabilistica di un gruppo finito o profinito. Otteniamo risultati riguardanti due problemi distinti. Innanzitutto dimostriamo che in ogni gruppo Alterno o Simmetrico il numero di Moebius di ogni sottogruppo può essere limitato polinomialmente nell'indice di tale sottogruppo, ed il numero di sottogruppi con un dato indice n e con numero di Moebius non nullo cresce al più polinomialmente in n. Questo risultato è un passo importante al fine di dimostrare la validità di una congettura di A.Mann riguardante la convergenza assoluta della serie probabilistica associata ad un gruppo profinito positivamente finitamente generato. In secondo luogo consideriamo un altro problema: A.Mann e N.Boston hanno congetturato che l'esistenza, per un dato valore di n, di una buona corrispondenza tra i sottogruppi massimali di Alt(n) and Sym(n) rifletta l'uguaglianza tra la serie probabilistica di Sym(n) e la serie probabilistica del prodotto diretto fra Alt(n) ed un gruppo ciclico di ordine 2. Proviamo che tale congettura vale se n è primo; ma non è vera in generale (ad esempio quando n=21). Persino se si assume l'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra i massimali di Alt(n) e Sym(n), la congettura può non valere; è ciò che accade quando n=62.