Generalized Moment Problems for Estimation of Spectral Densities and Quantum Channels

In questa tesi vengono presentati e analizzati due problemi dei momenti generalizzati che vengono utilizzati per la stima di modelli stocastici. Inizieremo col considerare l'approccio THREE, introdotto da Byrnes Georgiou e Lindquist, per la stima di densita spettrali. In questo metodo la covarianza dell'uscita di un banco di filtri noto è utilizzata per estrarre informazione sulla densità spettrale da stimare del segnale all'ingresso del banco. La parametrizzazione della famiglia di densità spettrali compatibili con la covarianza di uscita è un problema dei momenti generalizzato. Una stima di questa densità spettrale è scelta in questa famiglia. Il criterio di tale scelta si basa sulla minimizzazione di un opportuno indice di divergenza tra densità spettrali. Dopo aver introdotto il paradigma di tipo THREE, presenteremo una estensione multivariata della Beta divergenza per risolvere questo problema. Successivamente, affronteremo il problema della stima della matrice di covarianza dell'uscita del banco di filtri avendo a disposizione una sequenza di dati generati dalla densità spettrale all'ingresso del banco. Infine, tratteremo la tomografia di processi quantistici. Questo problema consiste nello stimare un canale quantistico che può essere pensato come l'equivalente della matrice di transizione di un processo Markoviano nel caso classico. Più precisamente, il canale quantistico da identicare è alimentato da un sistema quantistico preparato in uno stato puro noto. Il corrispondente stato all'uscita è successivamente soggetto alla misura di un osservabile. L'insieme di questi stati puri e osservabili caratterizza il setting sperimentale. Anche in questo caso, la parametrizzazione della famiglia di canali quantistici compatibili con le misure costituisce un problema dei momenti generalizzato. Il criterio di scelta della stima migliore in questa famiglia si basa sul principio a massima verosimiglianza. Tale stima può tuttavia non essere unica perchè l'esperimento in molti casi non è sufficientemente "ricco". Individueremo il setting sperimentale minimo che garantisce l'unicità della stima. Le simulazioni numeriche evidenziano che setting sperimentali più ricchi di quello minimo non portano a migliori prestazioni