Self-sustained periodic behaviors in interacting systems: macroscopic limits and fluctuations

In questa tesi studiamo comportamenti periodici auto-sostenuti che appaiono nella dinamica macroscopica di certi sistemi interagenti e alcuni fenomeni critici collegati a questo comportamento. La tesi è organizzata come segue. Nel primo capitolo ci concentriamo sulla comparsa di periodicità in modelli cooperativi a campo medio il cui potenziale di interazione è soggetto a una dissipazione. Definiamo un modello di Curie-Weiss generalizzato con dissipazione ed analizziamo la sua dinamica limite: mostriamo che non solo il comportamento periodico è presente a temperature sufficientemente basse, ma anche che, in certi regimi, diversi cicli limite stabili possono coesistere, purché in numero finito. Nel secondo capitolo ci occupiamo di un modello di Curie-Weiss bipopolato: definiamo due tipi di dinamiche microscopiche, una con ritardo e l'altra senza. Identifichiamo le configurazioni della rete di interazione che possono dare luogo ad oscillazioni macroscopiche nel caso senza ritardo; mostriamo inoltre che il ritardo permette la comparsa di periodicità in configurazioni nelle quali sarebbe altrimenti assente. Nel terzo capitolo consideriamo nuovamente il meccanismo della dissipazione, questa volta lasciando cadere l'ipotesi di interazione a campo medio. Studiamo un sistema di particelle con interazione a corto raggio ottenuto introducendo la dissipazione in un modello di Ising 1-dimensionale. Mostriamo che, in un opportuno limite di temperatura zero e volume infinito, la magnetizzazione totale del sistema presenta oscillazioni regolari tra fasi polarizzate. Infine, il quarto capitolo è dedicato all'analisi delle fluttuazioni critiche di sistemi che esibiscono una biforcazione di Hopf nella dinamica della legge macroscopica. Il comportamento delle fluttuazioni critiche attorno al limite macroscopico riflette il tipo di biforcazione e gli osservabili mostrano fluttuazioni che evolvono su scale temporali differenti. Identifichiamo la variable lenta e quella veloce ed otteniamo la convergenza della variabile lenta alla sua dinamica limite tramite un averaging principle.