Approximation in kernel-based spaces, optimal subspaces and approximation of eigenfunctions

I metodi kernel forniscono procedure di miglior approssimazione negli spazi di Hilbert nativi, ovvero gli spazi in cui tali kernel sono reproducing kernel. Nel caso notevole di kernel continui e strettamente definiti positivi su insiemi compatti, e' nota l’esistenza di una decomposizione in una serie data dalle autofunzioni (ortonormali in L2 ) di un particolare operatore integrale. L’interesse per questa espansione e' motivata da due ragioni. Da un lato, i sottospazi generati dalle autofunzioni, o elementi della eigenbasis, sono i trial space L2 -ottimali nel senso delle widhts. D’altro canto, tale espansione e' lo strumento fondamentale alla base in alcuni degli algoritmi di riferimento utilizzati nell’approssimazione con kernel. Nonostante queste ragioni motivino decisamente l’interesse per le eigenbasis, la suddetta decomposizione e' generalmente sconosciuta. Alla luce di queste motivazioni, la tesi affronta il problema dell’approssimazione delle eigenbasis per generici kernel continui e strettamente definiti positivi su generici insiemi compatti dello spazio euclideo, per ogni dimensione. Inizieremo col definire un nuovo tipo di ottimalita' basata sulla misura dell’errore tipica dell’interpolazione kernel standard. Il nuovo concetto di width sara' analizzato, ne sara' calcolato il valore e caratterizzati i rispettivi sottospazi ottimali, che saranno generati dalla eigenbasis. Inoltre, questo risultato di ottimalita' risultera' essere adatto ad essere ristretto ad alcuni particolari sottospazi dello spazio nativo. Questa restrizione ci permettera' di dimostrare nuovi risultati sulla costruzione di trial space ottimali che siano effettivamente calcolabili. Questa situazione include anche il caso dell’interpolazione kernel basata su valutazioni puntuali, e fornira' algoritmi per approssimare le autofunzioni tramite metodi kernel standard. Forniremo inoltre stime asintotiche di convergenza del metodo basate sui nuovi risultati teorici. I metodi presentati saranno implementati in algoritmi numerici, e ne testeremo il comportamento nell’approssimazione degli autospazi. Infine analizzeremo l’applicazioni dei metodi kernel a due diversi problemi di approssimazione.