Covariance Realization Problem for Spin Systems

Sia (Ω, Α) uno spazio misurabile, F una famiglia di funzioni misurabili f da Ω a R, e c: F→R sia una funzione assegnata. Un problema dei momenti generalizzato consiste nel trovare tutte le probabilità P su (Ω, Α) tali ∫ f dP = c(f) = cf per ogni f є F, e nel determinare le condizioni su ( c ) f є F per l'esistenza di almeno una tale probabilità. Problemi dei momenti generalizzati di questo tipo sono stati ampiamente studiati, principalmente dagli ingegneri teorici, per variabili casuali continue. In questa tesi consideriamo il caso speciale del problema di realizzazione della covarianza per sistemi di spin e discutiamo le condizioni necessarie e sufficienti per la realizzabilità di una matrice di covarianza di ordine n ≥ 2. Sia Ωn = {-1, 1}ⁿ lo spazio delle sequenze di lunghezza n, denotate con σ = (σ1, σ 2, …, σn), dove σi є {-1, 1}. Definiamo le variabili aleatorie di spin ξi : Ω →{-1, 1} per 1 ≤ i ≤ n ponendo ξi (σ ) = σ i. Data una probabilità P su Ωn , denotiamo con EP il valore atteso rispetto a P. Data una matrice simmetrica C = (( c ij)), nella tesi ci poniamo la seguente domanda: sotto quali condizioni esiste una probabilità P tale che EP (ξi) = 0 e c ij = EP (ξi ξj) for 1 ≤ i ≤ j ≤ n? In questo caso, diciamo che C è una matrice di correlazione per spin. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè una matrice simmetrica di ordine n ≤ 4 sia una matrice di correlazione per spin sono note. In questa tesi forniamo una famiglia di disuguaglianze che costituiscono una condizione necessaria e sufficiente per ogni n. Inoltre, per n=5,6, forniamo l'insieme di condizioni necessarie e sufficienti minimali. Infine, discutiamo vari metodi per determinare una probabilità che realizza le correlazioni assegnate (se ne esiste almeno una). Forniamo per questo un algoritmo deterministico, e alcune versioni stocastiche dello stesso. Confrontiamo inoltre, su alcuni esempi, l'efficienza di tali algoritmi.