New strategies for curve and arbitrary-topology surface constructions for design

Questa tesi presenta alcune nuove costruzioni per curve e superfici a topologia arbitraria nel contesto della modellazione geometrica. In particolare, riguarda principalmente tre argomenti strettamente collegati tra loro che sono di interesse sia nella ricerca teorica sia in quella applicata: le superfici di suddivisione, l'interpolazione locale non-uniforme (nei casi univariato e bivariato), e gli spazi di spline generalizzate. Nello specifico, descriviamo una strategia per l'integrazione di superfici di suddivisione in sistemi di progettazione assistita dal calcolatore e forniamo degli esempi per mostrare l'efficacia della sua implementazione. Inoltre, presentiamo un metodo per la costruzione di interpolanti univariati polinomiali a tratti, non-uniformi, a supporto locale e che hanno grado minimo rispetto agli altri parametri di progettazione prescritti (come l'ampiezza del supporto, l'ordine di continuità e l'ordine di approssimazione). Sempre nel contesto dell'interpolazione locale non-uniforme, ma nel caso di superfici, introduciamo una nuova strategia di parametrizzazione che, insieme a una opportuna tecnica di patching, ci permette di definire superfici composite che interpolano mesh o network di curve a topologia arbitraria e che soddisfano i requisiti di regolarità e di qualità estetica di forma solitamente richiesti nell'ambito della modellazione CAD. Infine, nel contesto delle spline generalizzate, proponiamo un approccio per la costruzione della base (B-spline) ottimale, normalizzata, totalmente positiva, riconosciuta come la miglior base di rappresentazione ai fini della progettazione. In aggiunta, forniamo una procedura numerica per controllare l'esistenza di una tale base in un dato spazio di spline generalizzate. Tutte le costruzioni qui presentate sono state ideate tenendo in considerazione anche l'importanza delle applicazioni e dell'implementazione, e dei relativi requisiti che le procedure numeriche devono soddisfare, in particolare nel contesto CAD.