Results on controllability and numerical approximation of the minimum time function

La tesi è dedicata a problemi di tempo minimo finito dimensionali, sia con vincoli di stato che senza, con particolare riguardo alla regolarità all’approssimazione numerica e ad asp etti collegati di sintesi. Si considera in primo luogo il problema della controllabilità locale per tempi piccoli con vincoli di stato: si forniscono condizioni sufficienti per portare ad un bersaglio in tempo finito una traiettoria del sistema dato, senza violare i vincoli, e si dà una stima del tempo necessario. Nell’ambito di problemi affini rispetto al controllo, si danno condizioni sufficienti per la controllabilità a rispetto ad una particolare discretizzazione della dinamica. Tale risultato è motivato da un approccio all’approssimazione del tempo minimo T basato sulla sua caratterizzazione mediante un’equazione di Hamilton-Jacobi. Il contributo di questa parte della tesi consiste in un risultato teorico che estende la teoria esistente al caso in cui T non sia Lipschitz (cioè sotto ipotesi deboli di controllabilità) e nella costruzione di un feedback approssimato con la relativa stima dell’errore. Si propone inoltre una nuova formulazione del problema del tempo minimo, nella quale si fa uso di un tempo negativo quando la traiettoria è penetrata all’interno del bersaglio, allo scopo di ridurre l’errore di approssimazione vicino alla frontiera. Si dimostra una nuova versione del principio della programmazione dinamica (il “Principio Ponte”), che stabilisce una relazione tra il tempo minimo all’interno e all’esterno del bersaglio. Si studia poi una discretizzazione della corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi e si forniscono stime dell’errore. La parte finale della tesi è dedicata all’introduzione di un nuovo approccio per il calcolo approssimato di T basato sull’approssimazione degli insiemi raggiungibili mediante l’aritmetica degli insiemi convessi, valido per sistemi lineari. Si fornisce una stima dell’errore mediante la distanza di Hausdorff per gli insiemi raggiungibili e per il tempo minimo. Si costruiscono inoltre traiettorie subottimali discrete e si prova la convergenza dei corrispondenti controlli al controllo ottimo