Novel Results on the Factorization and Estimation of Spectral Densities

La tesi è divisa in due parti. La prima parte riguarda uno dei problemi più importanti e classici della Teoria dei Sistemi e del Controllo, ossia la fattorizzazione di densità spettrali razionali a valori matriciali, meglio conosciuto come problema di fattorizzazione spettrale. Quest’ultimo rappresenta uno strumento fondamentale per la soluzione di una vasta gamma di problemi riguardanti statistiche del secondo ordine e funzioni costo quadratiche nella teoria del controllo, della stima, dell’elaborazione di segnali e delle comunicazioni. Il problema di fattorizzazione spettrale può essere visto come la controparte nel dominio della frequenza della soluzione di un’Equazione Algebrica di Riccati ed è strettamente connesso con il famoso Lemma di Kálmán-Yakubovich-Popov e, di conseguenza, con la teoria dei sistemi passivi. Questa prima parte fornisce un’analisi approfondita e completa del problema di fattorizzazione spettrale nel caso a tempo discreto, uno scenario sempre più diffuso nelle applicazioni del controllo. Il punto di partenza della nostra analisi è un risultato generale sulla fattorizzazione spettrale che si ispira ad un approccio ideato da Dante C. Youla. Basandoci su questo risultato, esaminiamo quindi alcuni aspetti chiave legati alla minimalità e alla parametrizzazione dei fattori spettrali minimi di una data densità spettrale. Per concludere, mostriamo come estendere alcuni idee e risultati al caso più generale di fattorizzazione spettrale indefinita o fattorizzazione J-spettrale, una tecnica di importanza primaria nella teoria del controllo e della stima robusta. Nella seconda parte della tesi, consideriamo il problema della stima di una densità spettrale incognita a partire da un insieme finito di misure. Seguendo l’approccio THREE (Tunable High REsolution Estimation) di Byrnes, Georgiou e Lindquist, interpretiamo il problema di stima spettrale come un problema di ottimizzazione soggetto ad un vincolo sui momenti generalizzato. In questo contesto, studiamo la convergenza globale di un algoritmo efficiente per la stima di densità spettrali scalari basata sul criterio di Kullback-Leibler. Successivamente, ci spostiamo ad analizzare il caso multivariato, considerando un problema estremamente delicato riguardante l’esistenza di una soluzione ad un problema di stima parametrico. Infine, analizziamo la geometria dello spazio delle densità spettrali rivisitando due distanze naturali definite su coni per il caso di spettri razionali. Queste nuove distanze verranno utilizzate per formulare un problema di stima spettrale "robusta" simile all’approccio THREE.