Numerical models for the large-scale simulation of fault and fracture mechanics

L’eventuale attivazione di faglie preesistenti e la generazione di nuove fratture nel sottosuolo può svolgere un ruolo cruciale in diversi campi di grande interesse sociale, come la gestione e lo sfruttamento delle risorse idriche sotterranee, in particolare in aree aride, l’estrazione e lo stoccaggio di idrocarburi e il monitoraggio dell’attività sismica nella crosta terrestre. Lo scorrimento e/o l’apertura di una faglia può creare percorsi di dispersione preferenziali per la fuoriuscita del fluido interstiziale causando gravi problemi nel processo di stoccaggio sotterraneo di fluidi e idrocarburi. L’effetto più problematico connesso ad un’attivazione di faglia è l’eventuale innesco di un terremoto. Recentemente, sono stati riportati molti terremoti associati all’estrazione e all’iniezione di fluidi. Problemi simili si verificano anche nella coltivazione di giacimenti di idrocarburi non convenzionali, che recentemente hanno registrato un drastico aumento grazie alla diffusione della tecnologia chiamata “fracking”, che si basa sulla creazione di numerose fratture attraverso l’iniezione di fluidi ad alta pressione. L’uso di questa tecnica in aree densamente popolate ha sollevato un ampio dibattito scientifico sui possibili rischi ambientali ad essa connessi. L’eccessivo sfruttamento di acquiferi in regioni aride ha generato notevoli fratture nel terreno. In questa tesi, è stata sviluppata una nuova formulazione basata sui moltiplicatori di Lagrange, in grado di offrire una robusta modellazione numerica della meccanica delle faglie. Una faglia o una frattura viene simulata come una coppia di superfici interne inserite in una formazione geologica tridimensionale, in cui i moltiplicatori di Lagrange vengono utilizzati per imporre le condizioni di contatto. La classica formulazione variazionale del problema di contatto con i moltiplicatori di Lagrange è modificata per includere l’energia dissipata dal lavoro delle forze d’attrito nella parte di faglia attivata. Questo quantità viene calcolata utilizzando il principio della massima dissipazione plastica, la cui applicazione definisce la direzione del vettore di tensione tangenziale in caso di scorrimento. Il nuovo approccio è stato validato grazie a soluzioni analitiche e utilizzato in diversi problemi derivanti da applicazioni reali. In particolare, il nuovo approccio è stato testato in quattro casi: (i) la meccanica di due blocchi adiacenti, per analizzare il comportamento dell’algoritmo da un punto di vista numerico; (ii-iii) fratture del sottosuolo causate da estrazione d’acqua subsuperficiale, con differenti geometrie; (iv) riattivazione di faglie in un giacimento soggetto a produzione primaria e cicli di stoccaggio di gas. I risultati sono stati analizzati e commentati. Nel quarto caso, si è determinata la possibile magnitudo relative ad eventi provocati dalla riattivazione delle faglie, per capire se le attività umane nel sottosuolo possano provocare fenomeni sismici. L’applicazione del modello di faglia a problemi di grande scala genera un insieme di sistemi discreti e sparsi di equazioni linearizzate, con una struttura tipo punto sella non simmetrica generalizzata. La seconda parte di questa tesi è rivolta allo sviluppo di algoritmi efficienti per la soluzione iterativa di sistemi di questo tipo. In particolare, si utilizza la tecnica detta “constraint preconditioning”, che sfrutta la suddivisione in blocchi dello jacobiano. La qualità del precondizionatore si basa su due fasi: (i) il precondizionamento del blocco principale e (ii) il calcolo del complemento di Schur. In questo lavoro, sono state sviluppate e testate nuove tecniche di precondizionamento per il blocco principale, basate su un framework multilevello. L’idea di base di questo approccio è il miglioramento delle inverse approssimate grazie allo schema delle fattorizzate incomplete, introducendo, quindi, una sequenzialità in algoritmi perfettamente paralleli. La tecnica presentata è robusta da un punto di vista teorico e molto efficiente in ambiente parallelo. Per quanto riguarda l’ultimo punto, ossia il calcolo del complemento di Schur, sono state proposte diverse approssimazioni. La differenza principale risiede nel considerare o meno lo jacobiano simmetrizzato. Il calcolo può essere basato sulla FSAI, per approssimare l’inversa del blocco principale, o su un approccio diagonale a blocchi, che è legato alla caratteristiche fisiche del problema. Il complemento di Schur deve essere invertito, quindi altre scelte entrano in gioco. Si può utilizzare la FSAI, se la matrice è simmetrica, o una fattorizzata incompleta, se non simmetrica, ma è possibile anche risolvere esattamente il complemento di Schur, grazie ad un solutore diretto. Infine, le performance degli algoritmi proposti sono analizzate e discusse su un insieme di problemi numerici derivanti da applicazioni reali.