A Study Of Arbitrage Opportunities In Financial Markets Without Martingale Measures

La presente tesi di dottorato è costituita da quattro capitoli tra loro dipendenti ed è dedicata allo studio sistematico di opportunità d’arbitraggio, con particolare attenzione a modelli di mercato generali e incompleti, in presenza di semimartingale cadlag. Nel Capitolo 1 sono riportate le motivazioni al presente lavoro di ricerca, insieme ad un breve riepilogo della teoria del non arbitraggio e della letteratura riguardante le opportunita di arbitraggio. Introduciamo nozioni e concetti generali, che saranno utilizzati ovunque nella tesi. Discutiamo condizioni di non arbitraggio e problemi di ottimizzazione dell’utilità, richiamando risultati noti in letteratura. Infine, enunciamo tre problemi aperti e riassumiamo i risultati nuovi ottenuti nella tesi. Nel Capitolo 2 forniamo una soluzione al problema di determinare arbitraggi quando gli investitori sono eterogenei, nel senso che le loro aspettative sono descritte tramite misure di probabilità non equivalenti. Il profitto derivante da un arbitraggio ottimale e la corrispondente strategia sono studiati attentamente per mezzo di tecniche legate al cambio di misura non equivalente. Discutiamo inoltre le implicazioni finanziarie di tale studio e forniamo alcuni esempi significativi. Contrariamente a quanto accade nei modelli browniani, in cui gli arbitraggi (se esistono) sono “fragili”, alcuni degli arbitraggi forniti nei nostri esempi sono robusti quando le frizioni del mercato, come i costi di transazione oppure l’errata specificazione del modello (“model misspecification”), sono presi in considerazione. Nel Capitolo 3 studiamo il problema di investimento ottimale con possibilita di consumo intertemporale. Mostriamo che la condizione ”no unbounded profit with bounded risk” è sufficiente a stabilire le relazioni di dualità fondamentali per la massimizzazione dell’utilità. Nel Capitolo 4 analizziamo le attivita di ”insider trading”. Supponiamo che esista un insider, il quale ha accesso ad alcune informazioni private nel momento in cui inizia l’attivita di trading. In finanza matematica si utilizza la terminologia ”allargamento iniziale della filtrazione” per denotare questa circostanza. Consideriamo innanzitutto il problema di ottimizzazione con utilità logaritmica per un insider. Siamo in grado di caratterizzare l’utilità attesa dell’insider attraverso il metodo di dualità e, quindi, di fornire una nuova condizione sufficiente per ”no unbounded profit with bounded risk”. Grazie alle tecniche di cambio di misura non equivalente presentate nel Capitolo 2, calcoliamo il prezzo ”superhedging” per l’insider di qualsiasi prodotto derivato ed esaminiamo il profitto derivante da un arbitraggio ottimale.