Metodi algebrici per l'analisi perturbativa di equazioni stocastiche

Goal of this thesis is the generalization of an algebraic approach to the perturbative analysis of singular stochastic partial differential equations along two main directions. The first concerns a purely algebraic reformulation of the path integral measure associated to a stochastic differential equation, referred to, in the literature, as the Martin-Siggia-Rose formalism. Resorting to suitable algebras of functionals over the space of smooth configurations and via ad hoc deformation maps, we circumvent the analytical hurdles ascribed to a heuristic derivation of the path integral, while accounting for any prescription to stochastic integration at the level of the action functional. After adapting to the non-singular setting of SDEs the novel microlocal and algebraic approach to the perturbative analysis of nonlinear SPDEs proposed by Dappiaggi, Drago, Rinaldi and Zambotti, we show that the results obtained via the algebraic path integral formalism and from the perturbative construction of momenta of the solution coincide at every order in perturbation theory in the purely additive and purely multiplicative scenarios. The second direction points towards the investigation of the convergence of the formal power series defining the momenta of the solution to the stochastic sine-Gordon equation within our algebraic framework. Inspired by recent convergence results of the S-matrix of the sine-Gordon quantum field theory on the 1+1-dimensional Minkowski spacetime within the framework of algebraic quantum field theory, we consider a deformed version of the interacting quantum field and of its multilocal products. The deformation implements at the algebraic level the information on the covariance of the Gaussian process solving the stochastic linear Klein-Gordon equation. The main result concerns the proof of absolute convergence of the deformed interacting observables once evaluated on an arbitrary field configuration. Subsequently, after investigating the classical limit of the quantum Möller map, the regime for ¯h!0 yields the non-perturbative momenta of the solution to the stochastic sine-Gordon equation.

L'obiettivo di questa tesi è quello di generalizzare un approccio algebrico all'analisi perturbativa delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo stocastico lungo due principali direzioni. La prima riguarda una riformulazione puramente algebrica del path integral associato ad una equazione differenziale stocastica, noto in letteratura col nome di formalismo Martin-Siggia-Rose. Ricorrendo a opportuni spazi di funzionali sulle configurazioni lisce e tramite delle mappe di deformazione, aggiriamo le ostruzioni analitiche legate ad una derivazione euristica del path integral, tenendo conto di tutte le possibili prescrizioni per la costruzione dell'integrale stocastico a livello del funzionale d'azione. Dopo aver adattato l'approccio microlocale e algebrico all'analisi perturbativa delle SPDE non lineari, sviluppato da Dappiaggi, Drago, Rinaldi e Zambotti, al caso delle SDE, mostriamo come i risultati ottenuti tramite il path integral algebrico e tramite una costruzione perturbativa dei momenti della soluzione coincidono ad ogni ordine perturbativo, nel caso puramente additivo e puramente moltiplicativo. La seconda direzione riguarda lo studio della convergenza delle serie di potenze formali che definiscono i momenti della soluzione dell'equazione di sine-Gordon stocastica tramite il nostro framework algebrico. Ispirati da recenti risultati sulla convergenza della matrice S del modello sine-Gordon sullo spaziotempo di Minkowski in 1+1 dimensioni tramite tecniche tipiche della teoria di campo algebrica, consideriamo una versione deformata del campo quantistico interagente e dei suoi prodotti. La deformazione implementa a livello algebrico l'informazione codificata dalla covarianza del processo gaussiano che risolve l'equazione di Klein-Gordon stocastica. Il risultato principale riguarda la dimostrazione della convergenza assoluta delle osservabili quantistiche deformate, una volta testate contro una configurazione di campo fissata. Dopo aver studiato il limite classico della mappa di Möller quantistica, quest'ultimo ci permette di ottenere una costruzione non perturbativa dei momenti della soluzione dell'equazione di sine-Gordon stocastica.