Invarianti e funzioni zeta associati a gruppi totalmente sconnessi e localmente compatti

The study of invariants and asymptotic properties relative to groups plays a prominent role in several classification problems. This thesis focuses on the study of cohomological and geometric invariants and certain growth series associated to totally disconnected locally compact (for short, t.d.l.c.) groups, with specific attention on those groups acting properly and cocompactly on trees or buildings. We first deal with the number of ends of a compactly generated t.d.l.c. group. Generalising a result of E. Specker, we express this invariant in terms of the dimension of low-degree cohomology groups of the relevant t.d.l.c. group. Then we focus on the rational discrete cohomological dimension of a t.d.l.c. group. If the group acts properly and cocompactly on a building, we prove that this invariant coincides with the (more accessible) rational cohomological dimension of the Coxeter group describing the type of the building. Another cohomological invariant that we deal with is the Euler-Poincaré characteristic of a unimodular t.d.l.c. group. We establish a result on the sign of this invariant, and then use it to generalise the famous Stallings-Swan theorem to a class of unimodular t.d.l.c. groups. The second part of the thesis focuses on two Dirichlet series arising from counting problems pertaining (directly and indirectly) to a t.d.l.c. group. The first ones arise from counting double cosets in a group by their size. Within the cases of groups acting on locally finite trees or buildings, we provide explicit formulae of the relevant zeta functions in terms of local data of the action. Moreover, following a result of I. Castellano, G. Chinello and T. Weigel, we establish a surprising connection between the evaluation at -1 and the Euler-Poincaré characteristic of the group. The second series we considered arise from counting submodules of a free finitely generated module which are invariant under the action of a unipotent matrix group. If the coefficient ring in the ring of integers of a non-Archimedean local field, we highlight a sufficient condition to ensure the validity of T. Rossmann's conjecture about the behaviour of the function in a neighbourhood of 0. Later on, we turn our attention to finite fields as coefficient rings and provide explicit combinatorial formulae of the relevant series.

Lo studio di invarianti e proprietà asintotiche relative ad un gruppo ha un ruolo rilevante in molto problemi di classificazione. Questa tesi si concentra sullo studio di invarianti coomologici e geometrici e di alcune serie di crescita associati a gruppi totalmente sconnessi e localmente compatti (in breve, gruppi t.s.l.c.). Si dedice una particolare attenzione a gruppi t.s.l.c. che agiscono propriamente e cocompattamente su alberi o edifici. Inizialmente ci concentriamo sul numero di fini di un gruppo t.s.l.c. compattamente generato. Generalizzando un risultato di E. Specker, esprimiamo tale invariante in termini delle dimensioni dei gruppi di coomologia di basso grado del gruppo. In seguito, ci dedichiamo allo studio della dimensione coomologica razionale discreta di un gruppo t.s.l.c.. Nel caso in cui il gruppo agisca propriamente e cocompattamente su un edificio, dimostriamo che tale invariante coincide con la (più accessibile) dimensione coomologica razionale del gruppo di Coxeter che descrive il tipo dell'edificio. Un altro invariante coomologico che consideriamo è la caratteristica di Eulero-Poincaré di un gruppo t.s.l.c. unimodulare. Forniamo un risultato sul segno di tale invariante, ed inseguito sfruttiamo questa informazione per generalizzare il famoso teorema di Stallings-Swan ad una classe di gruppi t.s.l.c. unimodulari. La seconda parte della tesi si concentra su due serie di Dirichlet derivanti da problemi di conteggio associati (direttamente o indirettamente) a un gruppo. La prima classe di serie derivano dal conteggio dei doppi laterali di un gruppo in base al loro "volume". All'interno della famiglia di gruppi che agiscono su alberi o edifici, forniamo formule esplicite di tali serie in termini di dati locali dell'azione. Inoltre, generalizzando un risultato di I. Castellano, G. Chinello e T. Weigel, stabiliamo una sorprendente connessione tra il valore di tali funzioni in -1 e la caratteristica di Eulero-Poincaré del gruppo. La seconda famiglia di serie che consideriamo derivano dal conteggio di sottomoduli di un modulo libero e finitamente generato invarianti rispetto all'azione di un gruppo matriciale unipotente. Se l'anello dei coefficienti è l'anello degli interi di un campo locale non-archimedeo, delineamo una condizione sufficiente affinchè una congettura di T. Rossmann riguardante il comportamento della funzione in un intorno di 0 sia soddisfatta. In seguito, spostiamo l'attenzione sul caso in cui l'anello dei coefficienti sia un campo finito e produciamo formule esplicite delle serie in questione.