Topics in multivariable p-adic Hodge theory and in derived analytic geometry over a nonarchimedean field

In questa tesi trattiamo due argomenti differenti legati dalla teoria delle equazioni differenziali p-adiche. Il primo è la teoria delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Riguardo a questo argomento costruiamo un formalismo di Tate-Sen multivariabile e mostriamo che tale formalismo può essere utilizzato per recuperare la teoria di Sen multivariabile, inoltre proviamo che è possibile effettuare la discesa di rappresentazioni multivariabili usando i vettori localmente analitici. Rispondiamo anche a una questione aperta sulle rappresentazioni di de Rham multivariabili. Il secondo argomento è la geometria analitica derivata. In questo ambito studiamo le funzioni temperate su un anello di Banach nonarchimedeo. Mostriamo che tali funzioni hanno un significato geometrico in questo ambiente a sfruttiamo questo fatto per dare un'interpretazione geometrica al teorema di transfer per la log-crescenza delle soluzioni di un sistema differenziale p-adico. Inoltre costruiamo una versione temperata del tubo analitico rigido di una varietà algebrica liscia in caratteristica p.