Vibrazioni Non Lineari e Caos negli Ingranaggi Spiroconici

This study delves into the intricate dynamics of a real spiral bevel gear system, used inside a helicopter transmission system, through various nonlinear dynamic analysis tools. In a real scenario, a gear pair may experience three different contacts: forward contact, tooth separation, and backside impact. In this study, all possible types of contacts are considered, which leads to calculating the tooth mesh stiffness in both the forward and the reverse motions due to the geometry of the spiral bevel gears. A nonlinear finite element method-based program, Transmission3D-Calyx, is used to perform a precise semi-static analysis to determine the system's mesh stiffness. Because of the mismatch between the tooth surface of the gear and pinion, a loaded tooth contact analysis and an unloaded tooth contact analysis are conducted. The motion equations of the system are obtained by applying Lagrange's theorem. The nonlinear governing differential equations with time-varying parameters represent a non-smooth and non-autonomous dynamical system. Indeed, the backlash introduces nonlinearity into the system, and time-dependent mesh stiffness leads to parametric excitation. The GearDyns-SBG program is developed to solve the governing equations under different working conditions. The considered dynamical methodology includes backward and forward simulations to track stable branches, enhancing the understanding of the system's behavior. Three main different dynamical systems are considered to evaluate the dynamics of the spiral bevel gear pair with consideration of an average-mesh stiffness (average slope approach), an adaptive-mesh stiffness (hybrid analytical-computational approach), and a constant shaft stiffness. The hybrid analytical-computational approach accounts for the nonlinearity due to Hertzian contact stress. The dynamical mesh force was computed using a combination of polynomial interpolation techniques and loaded tooth contact analyses. The accuracy of the adaptive-mesh stiffness approach was validated by comparing its results with those obtained from a verified nonlinear finite element method simulation, demonstrating robust agreement and the efficacy of our approach. Moreover, the nonlinear dynamic scenario of spiral bevel gears is investigated by considering the effect of torsional shaft stiffness. Shafts can have different lengths and diameters, which significantly affects the dynamic response of the system. For a deeper understanding of the torsional shaft stiffness effect, a system with three degrees of freedom is developed. Besides, the effect of shaft stiffness was investigated from a design point of view. This comprehensive study contributes to a deeper understanding of nonlinear dynamical systems and offers reliable methods for predicting and analyzing their behavior under various conditions. Our analysis reveals significant insights into system dynamics, particularly through the use of FFT spectrum, nonlinear time series analyses. Amplitude-frequency analyses, Poincaré maps, phase diagrams, and recurrence plots are used to visualize the dynamic responses, revealing complex behaviors including tooth separation, backside contact, and strong irregularities in time histories. We explore phenomena such as boundary crises and period-doubling cascades, emphasizing the role of the largest Lyapunov exponent and fractal dimension in characterizing chaos. Additional measures such as 3D bifurcation analyses offer deeper insights into the system's dynamics, capturing phenomena like chaos-chaos transitions, route-to-chaos, boom-and-bust cycles, and trapping phenomena. The investigation compares the dynamics of the system under different working conditions and examines the periodicity of the system’s responses.

Il presente studio analizza le dinamiche complesse di un sistema reale di ingranaggi spiro conici, utilizzato nei sistemi di trasmissione per elicotteri, impiegando diversi strumenti di analisi dinamica non lineare. Una coppia di ingranaggi può essere soggetta a tre differenti tipi di contatto: contatto frontale, separazione tra i denti ed impatto posteriore. Lo studio prende in esame tutte le possibili tipologie di contatto, calcolando la rigidezza di ingranamento dentale sia nel moto in avanti sia in quello inverso. Per condurre un'analisi quasi-statica precisa, si utilizza un programma basato sul metodo degli elementi finiti non lineari, Transmission3D, al fine di determinare la rigidezza di ingranamento del sistema. Le equazioni del moto sono poi derivate applicando il teorema di Lagrange. Le equazioni differenziali non lineari, con parametri variabili nel tempo, rappresentano un sistema dinamico non regolare e non autonomo. Il gioco tra i denti introduce non linearità nel sistema, mentre la rigidezza variabile di ingranamento conduce a un’eccitazione parametrica. Il programma GearDyns-SBG è stato sviluppato per risolvere le equazioni del moto in differenti condizioni operative. La metodologia dinamica impiegata include simulazioni dirette e inverse per tracciare i rami stabili. Sono presi in considerazione tre modelli dinamici principali per valutare la dinamica della coppia di ingranaggi spiroconici, considerando una rigidezza media di ingranamento, una rigidezza adattiva e una rigidezza costante dell'albero. L’approccio ibrido analitico-computazionale tiene conto della non linearità dovuta allo stress da contatto hertziano. La forza dinamica di ingranamento è stata calcolata utilizzando una combinazione di tecniche di interpolazione polinomiale e analisi del contatto dentale a carico. L’accuratezza dell’approccio della rigidezza adattiva di ingranamento è stata validata confrontando i risultati ottenuti con quelli di una simulazione non lineare basata sul metodo degli elementi finiti. Inoltre, la dinamica del sistema è stata studiata considerando l’effetto della rigidezza torsionale dell’albero. Gli alberi possono variare per lunghezza e diametro, influenzando significativamente la risposta del sistema. Al fine di comprendere meglio l’effetto della rigidezza torsionale dell’albero, è stato sviluppato un modello con tre gradi di libertà. L’effetto della rigidezza dell’albero è stato inoltre indagato dal punto di vista progettuale. Questo studio fornisce un contributo significativo alla comprensione dei sistemi dinamici non lineari, offrendo metodi affidabili per prevedere e analizzare il comportamento del sistema in diverse condizioni operative. L'analisi ha rivelato importanti approfondimenti sulla dinamica del sistema, in particolare attraverso l'uso dello spettro FFT e delle analisi delle serie temporali non lineari. Vengono utilizzati diagrammi ampiezza-frequenza, mappe di Poincaré, diagrammi di fase e grafici di ricorrenza per visualizzare le risposte dinamiche, rivelando comportamenti complessi come la separazione tra i denti, il contatto posteriore e forti irregolarità nelle serie temporali. Fenomeni come boundary crises e le cascate di raddoppio del periodo sono esplorati, sottolineando il ruolo del massimo esponente di Lyapunov e della dimensione frattale nella caratterizzazione del caos. Ulteriori misure, come le analisi delle biforcazioni tridimensionali, offrono una comprensione più approfondita della dinamica del sistema, catturando fenomeni come chaos-chaos transitions, route-to-chaos, il ciclo boom-and-bust e il fenomeno della trappola. Lo studio confronta la dinamica del sistema in diverse condizioni operative ed esamina la periodicità delle risposte del sistema.