Generation of analytic semigroups for a class of degenerate elliptic operators

This thesis is composed by two chapters. The first one is devoted to the generation of analytic semigroups in the L^2 topology by second order elliptic operators in divergence form, that may degenerate at the boundary of the space domain. Our results, that hold in two space dimension, guarantee that the solutions of the corresponding evolution problems support integration by parts. So, this paper provides the basis for deriving Carleman type estimates for degenerate parabolic operators. In the second chapter we give null controllability results for some degenerate parabolic equations in non divergence form with a drift term in one space dimension. In particular, the coefficient of the second order term may degenerate at the extreme points of the space domain. For this purpose, we obtain an observability inequality for the adjoint problem using suitable Carleman estimates.

Questa tesi è suddivisa in due capitoli. Nel primo si da un risultato di buona positura per una classe di problemi parabolici degeneri. I risultati ottenuti, validi in dimensione 2, garantiscono che le soluzioni di tali problemi supportano l'integrazione per parti. Nel secondo capitolo, si studia la controllabilità allo zero per una classe di operatori parabolici degeneri in forma non-divergenza. In particolare, i coefficienti del termine del secondo ordine possono degenerare al bordo del dominio spaziale. A questo scopo si giunge previo una disuguaglianza di osservabilità per il problema aggiunto usando opportune stime di Carleman.