On the construction of useful quantum kernels

The significant interest from the scientific and industrial community in quantum computing has led to unprecedented progress, making this technology a realistic candidate for addressing problems considered beyond the possibility of any computational device today. Despite these advancements, a comprehensive understanding of the potential of quantum devices remains elusive, both from theoretical and practical standpoints. This gap becomes particularly apparent when considering using quantum computing to enhance or accelerate machine learning models. Numerous proposals have emerged in recent years, spanning from algorithms for sparse linear algebra and solvers for dissipative partial differential equations to tools for topological data analysis and combinatorial optimization. This thesis departs from these paths by investigating kernel machines whose kernel functions are computed through quantum circuits. Kernel models expand upon linear models, enabling them to capture intricate relationships within data. Initially proposed in the context of quantum computing as a potential implementation on the first generation of quantum computers, known as `NISQ', numerous experiments have showcased technological advancements without yielding clear applications or performance improvements compared to classical techniques. This thesis seeks to bridge this gap. The thesis first focuses on improving kernels for NISQ machines. Firstly, we delve into automatic approaches for defining quantum kernels through optimization procedures, thereby circumventing the need to customize transformations for each use case manually. Secondly, we explore the introduction of non-linearity into these models and its limitations. Thirdly, we boost performance using ensemble techniques, which share significant connections with the over-parametrization employed in deep learning models. The second part of the thesis delves into the potential of fault-tolerant quantum computing in kernel methods. We can leverage quantum algorithms to extract the algebraic properties of data for our machine learning models. Among these, we concentrate on kernels tailored for graph analysis and topological data. Finally, we discuss open-source machine learning software in quantum sciences, elucidating how our software \emph{quask} accelerates researchers' work in kernels.

Il crescente interesse nella comunità scientifica e industriale verso l'informatica quantistica ha portato a progressi significativi, rendendo questa tecnologia una scelta promettente per risolvere alcuni problemi computazionali al di là delle capacità dei computer classici. Tuttavia, nonostante questi avanzamenti, la piena comprensione del potenziale dei dispositivi quantistici, sia dal punto di vista teorico che applicativo, rimane ancora lontana. Questa lacuna diventa ancora più evidente quando consideriamo l'applicazione del calcolo quantistico per ottimizzare o accelerare i modelli di \emph{machine learning}. Numerose proposte sono state avanzate per sfruttare il calcolo quantistico in specifici contesti, come il processamento di matrici sparse, le equazioni differenziali, l'analisi dei dati topologici e l'ottimizzazione combinatoria. Questa tesi, invece, si concentra su un'altra direzione, esaminando le potenzialità delle \emph{kernel machines} implementate su computer quantistici. Le kernel machines sono modelli di apprendimento automatico che generalizzano i modelli lineari, consentendo loro di catturare relazioni tra i dati di grande complessità. Inizialmente proposte per la loro facilità di implementazione sui primi computer quantistici, noti come `NISQ', queste tecniche sono state soggetto di molteplici esperimenti volti a mostrare i progressi tecnologici dell'hardware stesso, mancando tuttavia di chiaro vantaggio funzionale rispetto alle tecniche classiche. Questa tesi si propone di colmare tale divario. La prima parte della tesi si concentra sul miglioramento dei kernel per le macchine NISQ. Inizialmente, proponiamo approcci automatici per la definizione dei kernel quantistici tramite procedure di ottimizzazione, eliminando la necessità di definire manualmente trasformazioni per ciascun caso d'uso. Inoltre, esploriamo l'introduzione di non linearità nei modelli e il miglioramento delle prestazioni mediante tecniche di ensemble, rendendo questi primi più simili ai performanti modelli classici di \emph{deep learning}. La seconda parte della tesi esplora il potenziale del calcolo quantistico fault-tolerant nei metodi kernel. E' noto come sia possibile sfruttare algoritmi quantistici per estrarre proprietà algebriche dei dati, che quindi possono essere usate anche all'interno delle kernel machines. Noi ci concentriamo in particolare sui kernel per l'analisi di grafi e dati topologici. Infine, presentiamo \emph{quask}, il software open source di quantum machine learning sviluppato specificatamente per semplificare il lavoro dei ricercatori nel campo dei quantum kernel.