AN ANALYSIS OF DEPENDENCE STRUCTURES IN CREDIT RISK MODELS

L'oggetto di questa tesi ਠun'analisi di alcuni modelli per portafogli di rischi di credito, con speciale attenzione agli strun1enti usati in essi per rnodelizzare la dipendenza fra i default individuali, la quale ਠuna delle rnaggiori fonti di preoccupazione nel management del rischio di credito. Focalizzererno in particolar modo la nostra attenzione su alcuni modelli per pi๠gruppi ornogenei di rischi di credito, e specialrnente affrontererno il problerna della stirna dei loro parametri tramite il rnetodo della n1assima verosirniglianza; a tale scopo introdurremo un'approccio basato sull'uso dell'algoritmo E~1 (Expectation-l1aximization). Nel prin1o capitolo introduciamo i principali stnunenti maternatici che verranno usati nel seguito. Presentiamo brevernente la teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, e mostriamo una dimostrazione, nel caso di vettori aleatori, del principale risultato in quest'ambito, il teorema di De Finetti. Poi introduciamo il concetto di copula, e mostriarno il teorerna di Sklar, facendone vedere il funzionarnento nel caso di variabili aleatorie con funzioni di distribuzione continue. Attraverso alcuni esempi illustriarno in che rnodo le copule descrivano la struttura di dipendenza nelle distribuzioni rnultivariate. Mostriamo anche corne sia possibile attraverso le copule esprirnere in n1odo naturale il coefficiente di dipendenza nelle code, una misura alternativa alla correlazione lineare per descrivere la dipendenza nel cornportarnento delle variabili aleatorie rappresentanti i rischi. Nel secondo capitolo analizziamo i due tipi pi๠cornuni di rnodelli per portafogli di rischi di credito, i rnodelli a variabili latenti e i modelli di mistura di Bernoulli. Si rnostra come essenzialmente tutti i modelli a variabili latenti siano basati sulla copula Gaussiana, e si presenta un esempio di una generalizzazione ad una struttura di dipendenza pi๠generale. Dopodichà© si fanno alcuni esernpi di rnodelli di mistura di Bernoulli, e si presenta un sernplice risultato che perrnette di riscrivere i modelli a variabili latenti corne rnodelli di rnistura di Bernoulli. Alla fine del capitolo introduciamo il primo dei modelli per pi๠gruppi omogenei di rischi di credito che verranno studiati in dettaglio nel seguito. Nel terzo capitolo analizziarno i due modelli su cui si ਠconcentrato il maggior sforzo del nostro lavoro di tesi: il modello ad urna rnultidirnensionale e il rnodello a scherna iterativo di urne. Essi sono due esempi di modelli di mistura di Bernoulli multifattoriali la cui struttura di dipendenza ਠdeterminata da una generalizzazione del modello ad urna di Pà²lya, in modo tale da introdurre dipendenza non solo fra i default nella stesso gruppo omogeneo di rischi, ma anche fra quelli in diversi gruppi (ad esempio diverse classi di rating), introducendo cioਠuna forma di contagio fra i default. Di entrarnbi i rnodelli, grazie all'uso degli strumenti forniti dalla teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, calcoliamo la distribuzione congiunta del nurnero dei default nelle varie classi di rating. La complessità  della stirna statistica del valore dei parametri di suddetti rnodelli ci porta ad introdurre l'algoritmo EM (Expectation-Maxirnization), un'algoritrno per il calcolo iterativo delle stime di massirna verosirniglianza, il quale ਠl' argornento del quarto capitolo. In esso descriviarno brevernente la teoria generale riguardo all'algoritmo EM, e poi mostriamo corne applicarlo al caso dei tre rnodelli considerati. N el quinto capitolo affrontiarno gli aspetti tecnici dell'irnplementazione pratica dell'algoritmo nei casi considerati e presentiamo i risultati ottenuti, discutendone la bontà  ed i vantaggi e gli svantaggi dell'uso dell'algoritrno. Infine nell'ultimo capitolo attraverso alcuni grafici effettuiarno un'analisi comparativa dei modelli studiati e indaghiamo la loro capacità  di esprimere la dipendenza fra i default nelle differenti classi di rating.