OPTIMAL PORTFOLIO STRATEGIES FOR DEFINED- CONTRIBUTION PENSION PLANS: A STOCHASTIC CONTROL APPROACH

In questo lavoro consideriamo un modello stocastico per le scelte ottime di portafoglio del gestore di un fondo pensione a contributo definito. L'obiettivo del gestore sarà  massimizzare l'utilità  attesa della ricchezza finale del fondo stesso, cioਠla ricchezza accumulata da un contribuente rappresentativo prima del suo pensionamento. Il modello classico di ottimizzazione dinamica, proposto inizialmente da Merton (1969, 1971), considera un mercato caratterizzato da una struttura piatta dei tassi di interesse. Tuttavia il problema dell'allocazione ottima delle risorse per un fondo pensione interessa intervalli di tempo relativamente lunghi, generalmente dai 20 ai 40 anni. Pertanto l'ipotesi di tassi di interesse costanti non risulta del tutto coerente con l'obiettivo del nostro studio. Per la stessa ragione, sembra opportuno introdurre nel modello di valutazione anche il rischio inflativo. A sostegno di questa ipotesi, come risulta da dati del Chicago Mercantile Exchange, alcuni tra i principali fondi pensione negli Stati Uniti attualmente investono dal 5 al 10 per cento del loro portafoglio in strumenti finanziari indicizzati all'inflazione. Inoltre, al fine di valutare i benefici associati ad un piano previdenziale, il gestore di un fondo pensioni si trova a dover considerare non solo rischi legati al mercato finanziario, ma anche altre variabili "esterne" al mercato stesso, per esempio legate al mercato del lavoro. Alla luce di quanto osservato finora, rispetto al modello classico di Merton includeremo nel problema di scelta ottima di portafoglio: (i) un processo stocastico per il tasso di interesse, (ii) il rischio inflativo, attraverso un processo stocastico che definisce l'indice dei prezzi al consumo e (iii) il "rischio salariale", attraverso un processo stocastico per i contributi. In particolare, metteremo ampiamente in evidenza come l'introduzione di flussi di cassa diversi da quelli legati al mercato finanziario (nel nostro caso i contributi) comporti notevoli ostacoli nella risoluzione del problema di ottimizzazione del portafoglio. Per risolvere il problema della scelta ottima di portafoglio di un fondo pensione seguiremo la teoria del controllo ottimo stocastico. Approcci alternativi (Deelstra e al., 2003, e Lioui e Poncet, 2001) sono basati sul "metodo della martingala" inizialmente introdotto da Cox e Huang (1989, 1991), i quali ottengono un'equazione alle derivate parziali (PDE) generalmente pi๠semplice da risolvere di quella che si ottiene nella programmazione dinamica. Tuttavia, quando viene introdotto un processo stocastico per i salari, non ਠpi๠possibile applicare direttamente tale metodologia. Nel primo capitolo della tesi presentiamo una rassegna degli strumenti matematici necessari per un'analisi formale dei modelli di allocazione ottima delle risorse in tempo continuo. Il Capitolo 2 introduce e descrive in fasi successive le principali caratteristiche dell'approccio del controllo ottimo stocastico nei problemi di consumo e investimento in tempo continuo. Nel Capitolo 3 descriviamo il modello di allocazione ottima delle risorse proposto da Merton (1969, 1971), il quale viene spesso indicato come la prima efficace applicazione del controllo stocastico in ambito economico. Nel contesto di tale modello, presentiamo una soluzione esplicita per funzioni di utilità  con avversione assoluta al rischio iperbolica generalizzata. N el Capitolo 4 estendiamo il modello classico di M erto n al caso in cui i tassi di interesse sono stocastici . In particolare, mostriamo come l'introduzione nel problema di controllo ottimo di un'ulteriore variabile di stato (i tassi d'interesse stocastici), in aggiunta alla ricchezza, rappresenti un serio ostacolo nella risoluzione completa del modello. Sotto ipotesi opportune per la funzione valore, troviamo una soluzione esatta dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman associata al problema di controllo ottimo via Teorema di Feynman- Kac. In questo modo, siamo in grado di analizzare concretamente come la dinamica dei tassi di interesse condizioni la strategia ottima di investimento. In particolare, analizziamo come la presenza di una struttura stocastica per i tassi di interesse introduca nell'equazione del portafoglio ottimo una componente di hedging in aggiunta alla componente speculativa che caratterizza il modello di Merton. Il Capitolo 5 propone un modello di allocazione ottima delle risorse per un fondo pensione a contributo definito. Al fine di caratterizzare la fase di accumulazione del fondo, consideriamo il caso di un contribuente rappresentativo, il quale versa ad ogni epoca t E [O, T] una quota costante del proprio salario nel fondo stesso. Inizialmente, assumiamo un mercato finanziario completo e costituito da tre titoli: un titolo a rendimento certo, un'azione e un bond. Il 2 mercato ਠprivo di opportunità  di arbitraggio, non ci sono n costi di transazione n restrizioni sulla vendita allo scoperto dei titoli. A questo punto introduciamo i processi stocastici che definiscono l'indice dei prezzi al consumo e i salari. Come abbiano già  sottolineato, proprio la presenza di un processo stocastico per i salari rappresenta il principale ostacolo nella risoluzione del problema di controllo ottimo. Infatti, quando introduciamo un processo dipendente da una fonte di rischio diversa da quelle che caratterizzano il mercato finanziario, il mercato cessa di essere completo. In questo caso, se da una parte ਠsempre possibile formalizzare il problema di controllo stocastico e definire l'equazione del portafoglio ottimo, dall'altra non siamo pi๠in grado di applicare direttamente il Teorema di Feynman-Kac all'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman e quindi di esplicitare la funzione valore. Quindi, non ci ਠpossibile studiare come la strategia ottima di portafoglio dipenda dai parametri del processo dei salari. Quello che noi proponiamo ਠun modello in cui la presenza di un processo stocastico per i salari ਠcompatibile con l'ipotesi di mercato completo. Al fine di giustificare questo approccio, riconduciamo l'unica componente nonhedgeable del processo dei salari all'indice dei prezzi al consumo, il cui ruolo nel mercato finanziario verrà  ampiamente discusso. In questo modo troviamo una soluzione in forma chiusa al problema di controllo ottimo e quindi siamo in grado di analizzare in dettaglio come le dinamiche stocastiche di salari e inflazione influenzino la composizione ottima del portafoglio. In particolare, dimostriamo che il portafoglio ottimo ਠcaratterizzato da tre componenti: (i) una componente speculativa proporzionale sia all'indice di Sharpe, sia al reciproco dell'indice di avversione al rischio di Arrow-Pratt (coincidente con quella ottenuta nel modello di Merton), (ii) una componete di hedging dipendente dai parametri della variabili di stato (coincidente con quella ottenuta nel Capitolo 4) e (iii) una componente di hedging indipendente dall'attitudine al rischio e dipendente dai parametri di diffusione sia dei titoli finanziari sia dell'indice dei prezzi al consumo. Dopo aver esplicitato i valori attesi che caratterizzano la soluzione, mostriamo come il portafoglio ottimo possa essere semplificato nella somma di due componenti, di cui solo una dipende dall'orizzonte temporale. In questo modo otteniamo che una maggiore avversione al rischio assegna un peso maggiore alla componente dipendente dal tempo. Quindi, valori relativamente bassi del parametro di avversione al rischio determinano una strategia di portafoglio approssimativamente costante nel tempo. Concludiamo il capitolo presentando un'applicazione numerica del modello.