Ricostruzione di immagini tomografiche: modelli regolarizzati e strategie di risoluzione.

Matematica e medicina possono essere collegate tra loro con lo scopo di migliorare la qualità  di vita del paziente e, soprattutto, con l'obiettivo di creare un percorso di diagnosi e cura ad personam. Molte branche della matematica vengono sfruttate in campo medico: si pensi alla statistica, che ha importanti applicazioni nell'ambito della prevenzione o degli interventi mirati, piuttosto che all'analisi delle dinamiche di popolazione o ai modelli delle reti neuronali. Tuttavia, l'applicazione principale in campo biomedico rimane lo studio delle immagini del paziente, soprattutto quelle che consentono di analizzare l'interno del corpo umano. In questo lavoro di tesi, ci siamo proposti di studiare un problema di ricostruzione di immagini derivanti da tomografia computerizzata ad angoli limitati, particolarmente interessante a causa della sua capacità  di ridurre l'esposizione alle radiazioni a raggi X e i tempi di scansione. Il problema associato risulta mal posto: da questo deriveremo un modello di ottimizzazione convessa non differenziabile, per il quale andremo ad usare strategie adeguate alle caratteristiche del problema. L'idea di base del nostro lavoro ਠquella di utilizzare come regolarizzatore la norma 1 di una trasformata wavelet e di ricercare la soluzione del problema attraverso un metodo del primo ordine a metrica variabile.