Risoluzione di problemi di ottimizzazione topologica in FEniCS

L'obiettivo della tesi ਠdi effettuare uno studio rigoroso del problema matematico dell'ottimizzazione topologica, per realizzare un codice agli elementi finiti in FEniCS, basato sul linguaggio Python. Il detto codice deve essere in grado risolvere problemi nel dominio fisico dell'elasticità  lineare e in quello della conduzione (o diffusione) termica, con la possibilità  di utilizzare varie condizioni al bordo. La tesi ਠstrutturata in quattro parti. La prima consiste nei richiami matematici necessari alla corretta formulazione del problema. In particolare, sono riportati i concetti di ottimizzazione vincolata, di calcolo delle variazioni, di spazio di Sobolev e di formulazione debole di un problema ai valori al bordo. Si espongono, inoltre, il metodo degli elementi finiti e quello della funzione di Green. Nella seconda parte, si presenta il problema di ottimizzazione topologica, verificando l'esistenza e l'unicità  delle soluzioni delle equazioni di stato Si analizza la modellizzazione numerica della distribuzione di materiale e i metodi risolutivi del problema. Nella terza parte si presenta codice costruito durate il lavoro di tesi, applicandolo ad un problema-test nel dominio elastico. La scelta del software ਠricaduta su FEniCS poichà© permette un'agevole gestione della formulazione debole. Si ਠutilizzato il metodo degli asintoti mobili per la soluzione del problema di ottimalità . Nella quarta parte, si esibiscono i risultati di una serie di esperimenti numerici ottenuti utilizzando il codice sopra descritto. Si sono indagati: †¢ un problema termico †¢ l'effetto sulla soluzione del raffinamento e dell'allargamento della griglia di discretizzazione †¢ l'effetto della variazione dei parametri del filtro di Helmholtz †¢ due ulteriori condizioni al bordo per il caso elastico †¢ un problema elastico tridimensionale