Analisi Variazionale e Geometrica per Equazioni e Sistemi Ellittici Quasilineari

In this thesis, we employ variational and geometric analysis to investigate quasilinear elliptic equations and systems arising from nonlinear phenomena with a significant environmental impact. We focus on quasilinear elliptic systems driven by various nonlinear operators, such as the p-Laplacian, and nonlinear sources that are allowed to exhibit both subcritical and critical growth. We aim to establish the existence of solutions for perturbation of specific eigenvalue problems, by employing variational and topological methods. To establish existence results for autonomous systems of quasilinear PDEs in the spirit of the celebrated paper by Amann and Zehnder, we develop a local Morse theory for functional associated to quasilinear elliptic systems. Our objective is to bridge relationship between the local behaviour of the functional near its critical points and differential notions like the Morse index. To this aim, by refining topological arguments introduced by Cingolani and Degiovanni in Banach product spaces, we establish the finiteness of the critical groups and we derive a Poincaré-Hopf formula in a Banach product space, in presence of both subcritical and critical nonlinear coupling. Furthermore, we address the lack of regularity in the associated Euler functional by employing a penalization method combined with uniform L^infty estimates. We also establish uniform boundedness results for anisotropic quasilinear systems, that are of interest within regularity theory. To show existence results for non-autonomous systems of quasilinear PDEs in the spirit of the celebrated paper of Landesman and Lazer, we consider the eigenvalue problem for quasilinear elliptic systems introduced by de Thélin. Leveraging the intrinsic geometric structure of the eigenvalue problem, we prove the simplicity and isolation of the first eigenvalue lambda_1. Furthermore, we show the existence of a sequence of eigenvalues by employing a suitable deformation lemma proved by Bonnet. Subsequently, we analyze a non-autonomous perturbation of the eigenvalue problem. In particular, the established spectral properties enable us to derive new sufficient Landesman-Lazer type conditions within the framework of quasilinear elliptic systems. While the quasilinear elliptic systems under consideration typically involve the p-Laplacian for 1 < p < N, where N denotes the dimension of the space R^N, we also investigate the geometric role of the N-Laplacian in the N-dimensional Euclidean Onofri inequality. This inequality was established by Del Pino and Dolbeault for smooth functions with compact support. Specifically, after extending this inequality to a suitable weighted Sobolev space via a density argument, we exploit its connection with the Liouville equation on R^N to prove an equivalence with the sharp logarithmic Moser-Trudinger inequality on the unit ball B_1 of R^N, implicitly contained in the work of Carleson and Chang. For the specific case N=2, we further highlight a geometric link to the unit sphere S^2 through the stereographic projection.

In questa tesi, utilizziamo l'analisi variazionale e geometrica per studiare equazioni e sistemi quasilineari ellittici che nascono da fenomeni non lineari con un impatto significativo sull'ambiente. Ci concentriamo su sistemi quasilineari ellittici guidati da diversi operatori non lineari come il p-Laplaciano, e sorgenti non lineari che possono presentare crescita sia sottocritica che critica. Il nostro obiettivo è stabilire l'esistenza di soluzioni per una perturbazione di specifici problemi agli autovalori utilizzando metodi sia variazionali che topologici. Per stabilire risultati di esistenza per sistemi autonomi di PDE quasilineari nello spirito del celebre lavoro di Amann e Zehnder, sviluppiamo una teoria di Morse locale per funzionali associati a sistemi quasilineari ellittici. Il nostro obiettivo è creare un collegamento tra il comportamento locale del funzionale vicino i suoi punti critici e nozioni differenziali come l'indice di Morse. A tal fine, affinando gli argomenti topologici introdotti da Cingolani e Degiovanni per spazi di Banach prodotto, stabiliamo la finitezza dei gruppi critici e deriviamo una formula di Poincaré-Hopf in uno spazio di Banach prodotto, in presenza di accoppiamenti non lineari sia sottocritici che critici. Inoltre, affrontiamo la mancanza di regolarità nel funzionale associato utilizzando un metodo di penalizzazione combinato con stime L^infinito uniformi. Stabiliamo inoltre risultati di limitatezza uniforme per sistemi quasilineari anisotropi, che rivestono un certo interesse nell'ambito della teoria della regolarità. Per mostrare risultati di esistenza per sistemi non-autonomi di PDE quasilineari nello spirito del celebre lavoro di Landesman and Lazer, consideriamo il problema agli autovalori per sistemi quasilineari ellittici introdotto da de Thélin. Facendo leva sulla struttura geometrica intrinseca del problema agli autovalori, proviamo la semplicità e l'isolatezza del primo autovalore lambda_1. Inoltre, mostriamo l'esistenza di una successione di autovalori utilizzando un opportuno lemma di deformazione, dimostrato da Bonnet. Successivamente, analizziamo una perturbazione non-autonoma del problema agli autovalori. In particolare, le proprietà spettrali ottenute ci permettono di derivare nuove sufficienti condizioni di tipo Landesman-Lazer all'interno del framework di sistemi quasilineari ellittici. Mentre i sistemi in considerazione tipicamente coinvolgono il p-Laplaciano per 1 < p < N, dove N denota la dimensione dello spazio R^N, il ruolo geometrico dell' N-Laplaciano lo investighiamo nella disuguaglianza di Onofri euclidea N-dimensionale. Questa disuguaglianza è stata ottenuta da Del Pino e Dolbeault per funzioni regolari a supporto compatto. Nello specifico, dopo aver esteso la disuguaglianza ad un opportuno spazio di Sobolev pesato tramite un argomento di densità, sfruttiamo la connessione con l'equazione di Liouville in R^N per dimostrare un risultato di equivalenza con la ottimale disuguaglianza logaritmica di Moser-Trudinger sulla palla unitaria B_1 in R^N, contenuta implicitamente nel lavoro di Carleson e Chang. Nel caso specifico di N=2, sottolineiamo il collegamento con la sfera unitaria due-dimensionale S^2 attraverso la proiezione stereografica.