Concavity properties of positive solutions to Lane-Emden problems in convex domains of 𝕊²

This thesis studies concavity properties of positive solutions to Lane–Emden problems on geodesically convex domains of the sphere 𝕊². The main focus is the power-concavity of such solutions. For uniformly geodesically convex smooth domains, we prove that u⁽¹⁻ᵖ⁾ᐟ² is strictly concave for 0 ≤ p < 1 and strictly convex for 1 < p ≤ 3. Together with the strict logconcavity of the positive first Dirichlet eigenfunction for p = 1, due to Lee–Wang, this implies that, for 0 ≤ p ≤ 3, solutions have strictly geodesically convex superlevel sets and a unique nondegenerate maximum. In the sublinear case, we extended the strict concavity result to geodesically convex domains of 𝕊² with C²˒ᵞ boundary. For the torsion problem, we give an independent proof that √u is strictly concave, inspired by Makar–Limanov’s P-function method. Finally, we construct convex domains in ℝ² and geodesically convex domains in 𝕊² where the corresponding positive first Dirichlet eigenfunctions, normalized so that they have maximum 1, fail to satisfy the ½-logconcavity property.

Questa tesi studia proprietà di concavità delle soluzioni positive dei problemi di Lane–Emden su domini geodeticamente convessi della sfera 𝕊². L’obiettivo principale è la concavità in potenza di tali soluzioni. Per domini lisci uniformemente geodeticamente convessi, dimostriamo che u⁽¹⁻ᵖ⁾ᐟ² è strettamente concava per 0 ≤ p < 1 e strettamente convessa per 1 < p ≤ 3. Insieme alla stretta logconcavità della prima autofunzione positiva di Dirichlet per p = 1, dovuta a Lee–Wang, ciò implica che, per 0 ≤ p ≤ 3, le soluzioni hanno insiemi di sopralivello strettamente geodeticamente convessi e un unico punto di massimo non degenere. Nel caso sublineare, il risultato di stretta concavità è esteso a domini geodeticamente convessi di 𝕊² con bordo C²˒ᵞ. Per il problema di torsione, forniamo una dimostrazione indipendente del fatto che √u è strettamente concava, ispirata al metodo delle P-funzioni di Makar–Limanov. Infine, costruiamo domini convessi in ℝ² e domini geodeticamente convessi in 𝕊² in cui le corrispondenti prime autofunzioni positive di Dirichlet, normalizzate in modo da avere massimo 1, non soddisfano la proprietà di ½-logconcavità.