GEOMETRY OF FOURFOLDS WITH AN ADMISSIBLE K3 SUBCATEGORY

The aim of this thesis is to investigate some geometric properties of two classes of Fano fourfolds, having a semiorthogonal decomposition of the respective bounded derived categories whose non trivial component is a subcategory of K3 type, called the Kuznetsov component. The first part is devoted to cubic fourfolds. In particular, we prove a counting formula for the number of Fourier-Mukai partners of general special cubic fourfolds with a Hodge-associated K3 surface. Then we give a description of the Fano variety of lines and of the hyperkaehler eightfold constructed out of twisted cubic curves in a cubic fourfold as moduli spaces of stable objects in the Kuznetsov component. In the second part, we characterize when the double EPW sextic associated to a Gushel-Mukai fourfold is birational to a moduli space of (twisted) stable sheaves (resp. to the Hilbert square) on a K3 surface.

Lo scopo di questa tesi è studiare alcune proprietà geometriche di due classi di varietà di Fano di dimensione quattro, la cui categoria derivata ha una decomposizione semiortogonale avente come componente non banale una sottocategoria di tipo K3, nota come componente di Kuznetsov. La prima parte è dedicata alle ipersuperfici cubiche proiettive di dimensione quattro. In particolare, esibiamo una formula per contare il numero di Fourier-Mukai partners di una cubic fourfold speciale generica con una superficie K3 Hodge-associata. Inoltre, diamo una descrizione della varietà di Fano delle rette e della varietà hyperkaehler di dimensione otto costruita a partire dalle cubiche gobbe in una cubic fourfold come spazi di moduli di oggetti stabili nella componente di Kuznetsov. Nella seconda parte, caratterizziamo quando la EPW sestica doppia associata a una Gushel-Mukai fourfold è birazionale a uno spazio di moduli di fasci (twistati) stabili (resp. allo schema di Hilbert dei punti di lunghezza due) su una superficie K3.