Alcune proprietà delle coomologie p-adiche

In this thesis we study various properties of p-adic cohomology theories. We construct a duality between the kernel and cokernel of the monodromy operator on the Hyodo-Steenbrink double complex associated to a semistable log scheme when the log scheme admits a well-behaved lift, and prove that it is perfect by comparison to Poincaré duality in rigid cohomology. In addition we prove a conjecture of Flach and Morin computing the cone of the monodromy operator on log-crystalline cohomology as rigid cohomology in the case of a family over a curve, using the techniques of Chiarellotto and Tsuzuki in their proof of the Clemens-Schmid exact sequence in characteristic p. Finally, we prove the well-definedness in the general case of a Hodge-type filtration on rigid cohomology encountered in the context of syntomic cohomology.

In questa tesi andiamo a studiare alcune proprietà delle coomologie $p$-adiche. In primis, per un log-schema semistabile, costruiamo una dualità tra il ker e il coker dell'operatore di monodromia che agisce sul complesso doppio di Hyodo-Steenbrink: questo nel caso il log-schema abbia un opportuno lifting. Proviamo che tale dualità è perfetta usando una interpretazione via la dualità di Poincaré in ambito rigido. In seguito proviamo un caso particolare della congettura di ``Flach-Morin'': questa congettura lega il cono dell'operatore di monodromia con la coomologia rigida di uno log-schema semistabile (in ch.p). Proviamo la congettura nel caso il nostro log-schema appaia come la fibra speciale di una famiglia sopra una curva: le tecniche utilizzate sono quelle di Chiarellotto-Tsuzuki nella loro dimostrazione della esattezza della sequenza di Clemens-Schmid. Infine diamo una definizione di una filtrazione ``a la Hodge'' sulla coomologia rigida e mostriamo la sua indipendenza dalle scelte: questa filtrazione era apparsa nell'ambito della coomologia sintomica.